小学四年级奥数 急求求证 形如8K+1的质数有无穷多个 要求初等证明 (别给我提狄利克雷定理 自己都不会证还好意思拿它作为解答)证明详细些
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/01/03 16:02:25
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求证 形如8K+1的质数有无穷多个 要求初等证明 (别给我提狄利克雷定理 自己都不会证还好意思拿它作为解答)证明详细些
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搜索到一个有趣的思路:
形如2^n+1的素数有无限个,所以2^n+1=8*2^(n-3)+1=8k+1是素数也有无限个
假设形如8K+1的质数有X个。
那么8(X+1)+1不为质数。但8(X+1)+1不能分成除1和它本身以外的两个约数的积,是质数,这与假设得出的8(X+1)+1不为质数相矛盾,所以假设不成立。
由上可知,形如8K+1的质数有无穷多个。
反证法:
(1)、假设8K+1质数有限个;
(2)、则这些质数的积也可以表示成8K+1的形式,但(8K+1)+8,就是质数了。
这与证明普通的质数无限一样的
当K大于或等于0时,8K+1一定是一个奇数。质数中只有2是偶数。所以8K+1是质数的可能性大。
已知当k=2,k=5时8k+1为质数
假设8k1+1为质数,8k2+1也为质数,则必有
(8k1+1)*(8k2+1)=8(8k1k2+k1+k2)+1
接下来只需要证明8(8k1k2+k1+k2)+1+8也为质数即可
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