求,高一数学题解题过程及详解.若α,β是关于X的一元二次方程X平方+2（cos平方+1）X+cos平方θ=0的两个实根,且|α-β|≤2√2,求θ的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 17:28:09
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求,高一数学题解题过程及详解.
若α,β是关于X的一元二次方程X平方+2（cos平方+1）X+cos平方θ=0的两个实根,且|α-β|≤2√2,求θ的取值范围.
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根据韦达定理,
方程有两个实根,则必须有△=[2(cos² θ+1)]²-4cos²θ≥0
△=[4(cos²θ)²+4],显然无论θ为何值,都有△≥0,
有α+β= -2(cos² θ+1),α*β=cos²θ.
则|α-β|=√[（α+β）²-4α*β]=√[4(cos²θ)²+4]
因为cos²θ≤1,所以|α-β|≤√8即|α-β|≤2√2
故θ为任何值.
我想想
我也想想.
有题意可得，α+β=-2(cos^2 θ+1), α*β=cos^2 θ.
所以，|α-β|=根号下[-2(cos^2 θ+1)^2-4*cos^2 θ]=根号下[（2cos^2 θ+1)^2+3]。
所以，（2cos^2 θ+1)^2+3≤8，解得arccos(√5-1)+2kpi<=2θ<=2kpi+pi，即1/2arccos(√5-1)+kpi<=2θ<=kpi+pi/2 (k是整数）
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