设点p在曲线y=1/2(e^x)上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为(1-ln2)√2
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/19 02:15:25
设点p在曲线y=1/2(e^x)上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为(1-ln2)√2
设点p在曲线y=1/2(e^x)上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为
(1-ln2)√2
设点p在曲线y=1/2(e^x)上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为(1-ln2)√2
两条曲线互为反函数 也就是说关于y=x对称,做两条曲线的切线且平行于y=x,两切线的距离即最小值.
【注:一个结论:
设P, Q是两条不相交的曲线上的两个动点..
当两条曲线的过这两点的法线重合时,|PQ|最小。】】
可设P(a, (e^a)/2,) Q(b, ln(2b))
易知:
曲线y=(e^x)/2在点P处的法线方程为:y=[-2/(e^a)]x+[2a/(e^a)]+[(e^a)/2]
曲线y=ln(2x)在点Q处的法线方程...
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【注:一个结论:
设P, Q是两条不相交的曲线上的两个动点..
当两条曲线的过这两点的法线重合时,|PQ|最小。】】
可设P(a, (e^a)/2,) Q(b, ln(2b))
易知:
曲线y=(e^x)/2在点P处的法线方程为:y=[-2/(e^a)]x+[2a/(e^a)]+[(e^a)/2]
曲线y=ln(2x)在点Q处的法线方程为:y=-cx+c²+ln(2c).
由上面结论,对比可得:
c=2/(e^a)
c²+ln(2c)=[2a/(e^a)]+[(e^a)/2]
解得: c=1, a=ln2
∴P(ln2, 1), Q(1,ln2)
∴|PQ|min=√[(1-ln2)²+(1-ln2)²]=(1-ln2)√2.
收起
两条曲线互为反函数 也就是说关于y=x对称,做两条曲线的切线且平行于y=x,两切线的距离即最小值。
曲线y=1/2(e^x)到y=x的距离为d=|1/2(e^x)|/根号2
设函数g(x)=1/2(e^x)-x 求导为1/2(e^x)-1
则g(x)最小值为1-ln2)√2