x2 +y2=3,求二元函数x2*y4的最大值,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 15:19:21
x2 +y2=3,求二元函数x2*y4的最大值,
x2 +y2=3,求二元函数x2*y4的最大值,
x2 +y2=3,求二元函数x2*y4的最大值,
设t=x^2
则y^2=3-x^2=3-t
设z=x^2*y^4
=t(3-t)^2
=t(t-3)^2
z′（t）=(t-3)^2+2t（t-3）
=3t^2-12t+9
z′（t）=0时,解得t=1或3
所以z（t）在t=1和3时取得极值
z（1）=1（1-3)^2=4
z（3）=3（3-3）^2=0
所以在t=1时取得最大值
x2*y4的最大值为4
利用均值不等式：
收起
由x2 +y2=3得 x2=3-y2
x2*y4=（3-y2）*y4
设f(y)=（3-y2）*y4
f′(y)=12y3-6y5=6y3(2-y2)
令f′(y)=0 所以 y=0 y2=2
y=0 时 x2 =3 x2*y4=0
y2=2时 x2 =1 x2*y4=1*4=4
x2*y4的最大值为4
根据控制函数创建拉格朗日函数如下 就是先创建拉格朗日函数，再求导求极值。因为x^2,y^2只有一组值，故4在这组值处取最大值。
设x^2=3（sina）^2，y^2=3（cosa）^2=t,且0《t《3
.又x^2*y^4+y^6=3y^4,
即x^2*y^4=3y^4-y^6=3t^2-t^3
设f（t）=3t^2-t^3，f‘（t）=6t-3t^2
令f‘（t）=0，解得t=2
所以f（t）的最大值为4。
f(y)=x^2y^4=(3-y^2)y^4=3y^4-y^6
f '(y)=12y^3-6y^5
令：f '(y)=0，y^2(y^2-2)=0 ，y1=0，y2=土√2
f "(y)=36y^2-30y^4
f "(0)=0 是极值点，但不是最值点。
f "(√2)=72-120<0 f...
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f(y)=x^2y^4=(3-y^2)y^4=3y^4-y^6
f '(y)=12y^3-6y^5
令：f '(y)=0，y^2(y^2-2)=0 ，y1=0，y2=土√2
f "(y)=36y^2-30y^4
f "(0)=0 是极值点，但不是最值点。
f "(√2)=72-120<0 f(√2)=12-8=4 为最大值；
f ''(-√2)=72-120<0 f(-√2)=f(√2) 可见x=土√2是极大值点，也是最大值点。
因此x^2y^4的最大值为：f (土√2) = 4 .
收起
见图