四棱锥S—ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形,AB＝BC...四棱锥S—ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形,AB＝BC＝2,CD＝SD＝1.（1）证明：SD⊥平面SAB （2）求AB与平面SBC所成角的大小.求第二问

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2025/01/01 06:18:24

四棱锥S—ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形,AB＝BC...四棱锥S—ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形,AB＝BC＝2,CD＝SD＝1.（1）证明：

四棱锥S—ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形,AB＝BC...四棱锥S—ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形,AB＝BC＝2,CD＝SD＝1.（1）证明：SD⊥平面SAB （2）求AB与平面SBC所成角的大小.求第二问
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四棱锥S—ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形,AB＝BC＝2,CD＝SD＝1.（1）证明：SD⊥平面SAB （2）求AB与平面SBC所成角的大小.求第二问详解.

四棱锥S—ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形,AB＝BC...四棱锥S—ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形,AB＝BC＝2,CD＝SD＝1.（1）证明：SD⊥平面SAB （2）求AB与平面SBC所成角的大小.求第二问
(1)在底面ABCD中,过点D作垂线段DE⊥AB,则四边形DEBC是一个矩形,DE=BC=2；在直角三角形AED中,勾股定理求得AD=5^(1/2),于是用勾股定理可证三角形ASD为直角三角形；类似地,三角SBD也可以用勾股定理证是直角三角形.这样子SD分别垂直SA和SB,所以命题成立.
(2)通过求三棱锥S-ABC的体积而得：
因为SD⊥平面SAB,故其体积为 1/3 * 底面积SAB * SD = 1/3 * 3^(1/2) * 1；或者从A点出发作平面SBC的高线AF,即面积为 1/3 * 底面积SBC * AF = 1/3 * (1/2)*(7^(1/2)) * AF,这样子求得 AF = (21^(1/2))/7;
最后在直角三角形AFB中,角ABF= arcsin(AF/AB)=arcsin((21^(1/2))/14),即所求AB与平面SBC所成角的大小

（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，

∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1

∴AD=(AB-CD)2+BC2=5

∵侧面SAB为等边三角形，AB=2

∴SA=2

∵SD=1

∴AD2=SA2+SD2

∴SD⊥SA

同理：SD⊥SB

∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB

∴SD⊥平面SAB

（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系

则A（2，-1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），

作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=12，从而解得SM=32，故可得S（12，0，32）

则SB→=(32，1，-32)，SC→=(-12，1，-32)

设平面SBC的一个法向量为n→=(x，y，z)

则SB→•n→=0，SC→•n→=0

即{32x+y-32z=0-12x+y-32z=0

取x=0，y=32，z=1

即平面SBC的一个法向量为n→=(x，y，z)=（0，32，1）

又AB→=（0，2，0）

sin＜AB→，n→＞=AB→•n→|AB→|•|n→|AB→•n→|AB→|•|n→|=37=217

∴＜AB→，n→＞=arcsin217

即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin217