已知首项系数不相等的两个二次方程(a-1)x2-(a2+2)x+(a2+2a)=0及(b-1)x2-(b2+2)x+(b2+2b)=0 (a、b是正整数)有一个公共根,求a,b的值
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/15 07:28:33
已知首项系数不相等的两个二次方程(a-1)x2-(a2+2)x+(a2+2a)=0及(b-1)x2-(b2+2)x+(b2+2b)=0 (a、b是正整数)有一个公共根,求a,b的值
已知首项系数不相等的两个二次方程(a-1)x2-(a2+2)x+(a2+2a)=0及(b-1)x2-(b2+2)x+(b2+2b)=0 (a、b是正整数)有一个公共根,求a,b的值
已知首项系数不相等的两个二次方程(a-1)x2-(a2+2)x+(a2+2a)=0及(b-1)x2-(b2+2)x+(b2+2b)=0 (a、b是正整数)有一个公共根,求a,b的值
(a-1)x²-(a²+2)x+(a²+2a) = 0,(b-1)x²-(b²+2)x+(b²+2b) = 0.
设t为二者公共根,代入得(a-1)t²-(a²+2)t+(a²+2a) = 0,(b-1)t²-(b²+2)t+(b²+2b) = 0
整理为(1-t)a²+(t²+2)a-(t²+2t) = 0,(1-t)b²+(t²+2)b-(t²+2t) = 0.
即a,b为方程(1-t)x²+(t²+2)x-(t²+2t) = 0的两个不等整根.
由根与系数关系,a+b = (t²+2)/(t-1),ab = (t²+2t)/(t-1).
于是ab-a-b = (2t-2)/(t-1) = 2,即(a-1)(b-1) = 3.
由a,b均为正整数,可知a-1是3的正约数,有a-1 = 1或3,即a = 2或4.
相应的解为(a,b) = (2,4)或(4,2).
代回得两个方程为x²-6x+8 = 0与3x²-18x+24 = 0,有公共根(两根都是公共根).
即(a,b) = (2,4)或(4,2)满足题意,就是问题的解.