已知抛物线C的顶点在原点,焦点为F（0,1）,且过点A（2,t)若点P,Q是抛物线C上的两个动点,且直线AP与AQ的斜率互为相反数,试问直线PQ的斜率是否为定值,若是,求出这个值,若不是,请说明理由.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 19:37:11
已知抛物线C的顶点在原点,焦点为F（0,1）,且过点A（2,t)若点P,Q是抛物线C上的两个动点,且直线AP与AQ的斜率互为相反数,试问直线PQ的斜率是否为定值,若是,求出这个值,若不是,请说明理由.
已知抛物线C的顶点在原点,焦点为F（0,1）,且过点A（2,t)若点P,Q是抛物线C上的两个动点,且直线AP与AQ的
斜率互为相反数,试问直线PQ的斜率是否为定值,若是,求出这个值,若不是,请说明理由.
已知抛物线C的顶点在原点,焦点为F（0,1）,且过点A（2,t)若点P,Q是抛物线C上的两个动点,且直线AP与AQ的斜率互为相反数,试问直线PQ的斜率是否为定值,若是,求出这个值,若不是,请说明理由.
解；
依照条件可知：抛物线过原点,且焦点在y轴上,设抛物线方程为x²=2py 焦点（0,p/2）p/2=1 ;p=2 方程为x²=4y 把点A带入抛物线解析式中,t=1 A（2,1）
设P（x1,x1²/4）；Q（x2,x2²/4）,咱们先不讨论斜率存在问题,只当所有所求斜率都存在,然后在得到的结果中决定是否排除k不存在的情况,这样最快.
KAP=（x1²/4-1）/(x1 -2)-----------------------①
KAQ=（x2²/4-1）/(x2 -2)-----------------------②
①和②中K值互为相反数
化简得x1+x2=-4-----------------------------------③
KPQ=（x1²/4-x2²/4）/(x1 -x2)
=（x1+x2）/4=-1 为定值,当KAP和KAQ不存在时,P或Q其中一点与A重合,一点与A平行于X轴,其中一个斜率为0,一个为无穷大,不符合题意.显然,所求的①,②,③中的K值均存在.
所以PQ斜率为定值,此定值为-1
设C的方程为x^2=2py,C的焦点为F（0,1），p/2=1,2p=4,x^2=4y,当x=2时,y=1,A的坐标为A(2,1)
设P(x1,x1^2/4)、Q(x2,x2^2/4)
KAP＝（x1^2/4-1）/（x1-2)=(x1+2)/4,
KAQ=(x2^2/4)/(x2-2)=(x2+2)/4
KAP=-KAQ (x1+2)/4=-(x1+2...
全部展开
设C的方程为x^2=2py,C的焦点为F（0,1），p/2=1,2p=4,x^2=4y,当x=2时,y=1,A的坐标为A(2,1)
设P(x1,x1^2/4)、Q(x2,x2^2/4)
KAP＝（x1^2/4-1）/（x1-2)=(x1+2)/4,
KAQ=(x2^2/4)/(x2-2)=(x2+2)/4
KAP=-KAQ (x1+2)/4=-(x1+2)/4, x1+x2=-4
KPQ=(x1^2/4-x2^2/4)/(x1-x2)=(x1+x2)/4=-4/4=-1
直线PQ的斜率定值-1
收起
抛物线方程为x²=4y,设点P(x1,x1²/4),Q(x2,x2²/4)(x1≠x2)
则斜率之和为0，即KAP+KPQ=0，{[(x1²/4)-t]/(x1-2)}+{[(x2²/4)-t]/(x2-2)}=0
化简得x1+x2=-4
kPQ=[(x1²/4)-（x2²/4)]/(x1-x2)=(x1+x2)/4=-4/4=-1