在平行四边形ABCD中,AB= 4根3,AD=2根3 ,BD⊥AD,以BD为直径的⊙O交AB于E,交CD于F,则平行四边形ABCD被⊙O所截得阴影部分的面积为?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/30 02:56:45
在平行四边形ABCD中,AB= 4根3,AD=2根3 ,BD⊥AD,以BD为直径的⊙O交AB于E,交CD于F,则平行四边形ABCD被⊙O所截得阴影部分的面积为?
在平行四边形ABCD中,AB= 4根3,AD=2根3 ,BD⊥AD,以BD为直径的⊙O交AB于E,交CD于F,则平行四边形ABCD被⊙O所截得阴影部分的面积为?
在平行四边形ABCD中,AB= 4根3,AD=2根3 ,BD⊥AD,以BD为直径的⊙O交AB于E,交CD于F,则平行四边形ABCD被⊙O所截得阴影部分的面积为?
为了方便求解,我们需要添加三条辅助线
第一条就是DE,第二条是OE,第三条是过点O做AB的垂线交AB于H,连接OH
对称关系应该很容易看出来吧?所以我们现在要做的就是把外面这个四边形的面积减去里面这部分不是很规则的部分.其实我们求出左半个阴影部分的面积,然后乘以二就可以了
那么这部分阴影部分的面积就是解题的关键
实际上就是把三角形ABD减去里面白色的部分
白色的部分填上辅助线之后应该很好理解,就是扇形OED加上三角形OBE（废话不多说了,理清关系,上算式）
因为BD⊥AD,所以由勾股定理很容易可以求出BD的值 BD=根号（AB²-AD²)=6
所以圆的半径r也就是3
因为DE⊥AB,所以1/2*AD*BD=1/2*AB*DE （三角形ABD的两种面积表示法）
解得DE=3
因为OD=DE=OE=3,所以三角形ODE是等边三角形,所以角DOE=60度
所以扇形ODE的面积等于60/360*π*3²=3/2*π
因为DE⊥AB,OH⊥AB,所以OH平行于,DE
又OB=1/2BD
所以OH=1/2DE=3/2
因为DE⊥AB,所以BE=根号（BD²-DE²）=3根号3
所以三角形OBE的面积等于1/2*BE*OH=9/4*根号3
三角形ADB的面积等于1/2*AD*BD=6根号3
所以阴影部分ADE等于三角形ADB减去扇形ODE减去三角形OBE,等于6根号3-3/2*π-9/4*根号3
所以阴影部分面积等于两倍的ADE,等于15/2*根号3-3π