有界实数列的所有聚点构成一个集合A,证明A既有最大值又有最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 10:21:58
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有界实数列的所有聚点构成一个集合A,证明A既有最大值又有最小值
有界实数列的所有聚点构成一个集合A,证明A既有最大值又有最小值

有界实数列的所有聚点构成一个集合A,证明A既有最大值又有最小值
令A={ a | 存在b(n)->y,b(n)∈B}.按照聚点的定义A包含B
首先A也是有界集合.有界集合有上下确界M、m,对上确界M来证明,下确界证明类似.
M∈B,则M∈A,结论成立.
现在假定M∉B,则存在a(n)∈A,使得a(n)->M
任给ε>0,对每个a(n),存在b(k(n)),使得k(n+1)>k(n)≥n,且|b(k(n))-a(n)|<ε/2;同时存在N,当n>N,|a(n)-M|<ε/2,
所以,当k(n)>N,|b(k(n)-M|≤|b(k(n)-a(n)|+|a(n)-b(k(n))|<ε/2+ε/2=ε.
所以M∈A,M是A的最大值.

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