一道关于二元分段函数在分断点的连续,偏导数,可微的题.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/11 01:11:48
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lim(x→0,y=kx)f(x,y)=k^2/(1+k^4)
故lim((x,y)→(0,0))f(x,y)不存在,当然f(x.y)在(0,0)不可微.
lim(x→0)[f(x,0)-f(0,0)]/(x-0)=lim(x→0)(0-0)/(x-0)=0
即∂f/∂x(0,0)=0
同理∂f/∂y(0,0)=0
故选C
这里没选择，应该是“不连续但存在两个偏导数”，推导如下：
（1）因沿着y = kx，对x≠ 0，
f(x,kx) = (k^2)/[1+(k^4)]→(k^2)/[1+(k^4)] (x→0)，
当 k 取不同的值时，该极限有不同的值，因而 f 在(0,0)的二重极限不存在，因而 f 在(0,0) 不连续。
（2...
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这里没选择，应该是“不连续但存在两个偏导数”，推导如下：
（1）因沿着y = kx，对x≠ 0，
f(x,kx) = (k^2)/[1+(k^4)]→(k^2)/[1+(k^4)] (x→0)，
当 k 取不同的值时，该极限有不同的值，因而 f 在(0,0)的二重极限不存在，因而 f 在(0,0) 不连续。
（2）因
[f(x,0)-f(0,0)]/x = 0→0 ((x,y)→(0,0))，
知Df(0,0)/Dx = 0，同理可得Df(0,0)/Dy = 0。
故得我的结论。
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