数学趣题2-3道

数学趣题2-3道
数学趣题2-3道

数学趣题2-3道
一家药店收到运来的某种药品十瓶.每瓶装药丸1000粒.药剂师怀特先生刚把药瓶送上架子,一封电报接踵而来.怀特先生把电报念给药店经理布莱克小姐听.
怀特先生：“特急!所有药瓶须检查后方能出售.由于失误,其中有一瓶药丸每粒超重10毫克.请即退回分量有误的那瓶药.怀特先生很气恼.
怀特先生：“倒霉极了,我只好从每瓶中取出一粒来秤一下.真是胡闹.
怀特先生刚要动手,布莱克小姐拦住了他.布莱克小姐：“等一下,没必要秤十次,只需秤一次就够了.这怎么可能呢?
布莱克小姐的妙主意是从第一瓶中取出1粒,从第二瓶中取出2粒,第三瓶中取出3粒,以此类推,直至从第十瓶中取出10粒.把这55粒药丸放在秤上,记下总重量.如果重5510毫克,也就是超过规格10毫克,她当即明白其中只有一粒是超重的,并且是从第一瓶中取出的.
如果总重量超过规格20毫克,则其中有2粒超重,并且是从第二瓶中取出的,以此类推进行判断.所以布莱克小姐只要秤一次,不是吗?
六个月后,药店又收到此种药品十瓶.一封加急电报又接踵而至,指出发生了一个更糟糕的错误.
这一次,对超重药丸的瓶数无可奉告.怀特先生气恼极了.怀特先生：“布莱克小姐,怎么办?我们上次的方法不中用了.布莱克小姐没有立即回答,她在思索这个问题.
布莱克小姐：“不错.但如果把那个方法改变一下,我们仍然只需秤一次就能把分量有误的药品识别出来.这回布莱克小姐又有什么好主意?
在第一个秤药丸问题中,我们知道只有一瓶药丸超重.从每瓶中取出不同数目的药丸（最简单的方式就是采用计数序列）,我们就可使一组数字和一组药瓶成为一一对应的关系.
为了解决第二个问题,我们必须用一个数字序列把每瓶药单独标上某个数字,且此序列中的每一个子集必须有一个单独的和.有没有这样的序列?有的,最简单的就是下列二重序列：1,2,4,8,16,.这些数字是2的连续次幂,这一序列为二进制记数法奠定了基础.
在这个问题中,解法是把药瓶排成一行,从第一瓶中取出1粒,从第二瓶中取出2粒,从第三瓶中取出4粒,以此类推.取出的药丸放在秤上秤一下.假设总重量超重270毫克,由于每粒分量有误的药丸超重10毫克,所以我们把270除以10,得到27,即为超重药丸的粒数.把27化成二进制数：11011.在11011中自右至左,第一,二,四,五位上的“1”表示其权值分别为1,2,8,16.因此分量有误的药瓶是第一,二,四,五瓶.
在由2的幂组成的集合中,每个正整数是单一的不同组合中的元素之和.鉴于这一事实,二进制记数法极为有用.在计算机科学和大量应用数学领域中,二进制记数法是必不可少的.在趣味数学方面,同样也有难以计数的应用.
这里有一个简单的扑克魔术,可叫你的朋友莫名其妙.这个戏法也许看上去与药瓶问题毫无关系,但他们的依据是相同的,都是二进制原理.
请别人把一副牌洗过,然后放进你的口袋,再请人说出一个1至15以内的数字.然后你把手插进你的口袋里,一伸手就取出一组牌,其数值相加正好等于他所说的数字.
此秘密简单的很.在耍魔术之前,预先取出A,2,4,8各一张放入口袋.这副牌缺少区区四张,不大可能为人察觉.洗过的牌放入口袋后,暗中将其排置于原先已经放在口袋中的四张牌的后面.请别人说出一个数字,你用心算将此数表示成2的幂的和.如果是10,那你就应想到：8+2=10,随即伸手入袋,取出2和8的牌示众.
卜算卡片的依据也是二进制原理,准备六张卡片,分别记为A,B,C,D,E,F.然后将一些数字填写在卡片上,确定每张卡片上的数字集合的规则是这样的：在一个数的二进制表示中,若右起第一位是“1”,则此数字就在卡片A上.该卡片上的数字集合自1起始,全部数字就是1至63范围内所有的奇数；卡片B则包括1至63范围内的二进制记数法中右起第二位为“1”的全部数字；卡片C包括1至63范围内的二进制记数法中右起第三位为“1”的全部数字；卡片D,E,F以此类推.注意：63这个数字的二进制记数法是“111111”,每一位都是“1”,因此每张卡片上都有这个数字.
这六张卡片可以用来确定1至63范围内的任意一个数字.请一位观众想好此范围内的一个数字（例如某个人的年龄）,然后请他把所有上面有此数字的卡片都交给你.你随即说出他心中所想的那个数字.秘诀就是把每张卡片上2的幂的第一个数字相加.例如,如果把卡片C和F交给你,你只要将上面第一个数字4和32相加,便知道别人心中所想的数字是36.
有时,魔术师为了使得这个戏法显得更加玄妙,故意把每张卡片涂上各种不同的颜色.他只需记住每种颜色所代表的2的幂.例如,红卡片代表1,橙卡片代表2,黄卡片代表4,绿卡片代表8,兰卡片代表16,紫卡片代表32（可依据彩虹的诸色顺序）于是,魔术师站在大房间的一头,请人想好一个数字,并且把上面有此数字的卡片置于身旁,他即可根据那人身旁的卡片的颜色随口说出别人心中所想的数字.
有3个人去投宿,一晚30元.三个人每人掏了10元凑够30元交给了老板. 后来老板说今天优惠只要25元就够了,拿出5元命令服务生退还给他们, 服务生偷偷藏起了2元, 然后,把剩下的3元钱分给了那三个人,每人分到1元.这样,一开始每人掏了10元,现在又退回1元,也就是10-1=9,每人只花了9元钱, 3个人每人9元,3 X 9 = 27 元 + 服务生藏起的2元=29元,还有一元钱去了哪里?
这是典型的误导题,三人住店的成本是27元,这27元包括25元住宿费(老板手里)+2元服务生贪污的,还有找会的3元,一共是30元.
小明和小强都是张老师的学生,张老师的生日是M月N日,2人都知道张老师的生日
是下列10组中的一天,张老师把M值告诉了小明,把N值告诉了小强,张老师问他们知道他的生日是那一天吗?
3月4日 3月5日 3月8日
6月4日 6月7日
9月1日 9月5日
12月1日 12月2日 12月8日
小明说：如果我不知道的话,小强肯定也不知道
小强说：本来我也不知道,但是现在我知道了
小明说：哦,那我也知道了
请根据以上对话推断出张老师的生日是哪一天
答案是：9月1日.
相关的推理：
1.小明说：“如果我不知道的话,小强肯定也不知道”.
这句话的潜台词实际上是：“我应该猜对了,如果我猜错的话,小强肯定不知道”.但小明还是不确定自己究竟猜对没,需要小强来印证.M取什么值能让小明这么说呢?显然6和12不可取,如果M为6或12,N就有可能是2或7——小强凭2或7一个数字就能得知张老师的生日.则M只可能是3或9,而N只能在1、4、5、8中取值.
如果M是3,N可以取三种值,结果成了“如果小明不知道,小强有可能知道（2－4,3－8）,也有可能不知道（3－5）.”,在这种情况下,小明说“如果我不知道的话,小强肯定也不知道”是不符合事实的,小明不足以如此自信的这样说.
如果M是9,则小明就知道N只能是1或者5.此时,小明的猜测正是N=1,而N究竟是不是1,小明也不确信,如果N不是1而是5,则就出现了小明说的“如果我不知道的话,小强肯定也不知道”.至此,实际上小明已经知道了,结果只有两种情况,只等小强来确认N是不是5.
2.小强说：“本来我也不知道,但是现在我知道了”.
小强说“本来我也不知道”,验证了N确实不是2或者7；同时,小强也知道了“M不是6或12,M只剩下3和9可取”.若N是5,则小强应该说“本来我也不知道,现在我还是不知道”.根据第一节的推断,N=1,所以小强才能说“本来我也不知道,但是现在我知道了”.
3.小明说：“那我也知道了”
小明就等着小强的一句话了,不管小强怎么回答,小明都会知道正确答案.如果小强说“我还是不知道”,那么小明依然可以知道“只有N=5会让小强茫然”,因此答案是9月5日；如果小强说“我知道了”,那么就必然是9月1日.
其实,自始至终,小明都是明白的,他只需要小强说句话验证他的猜测,对小明而言,是个非A即B的选择题.因此,按照题目本身的故事发展线索,小明的第三句话是可以不用的,很多人推导的时候却用上了这个条件——那样就有点像做数学题了.
一天,一个顾客到老张的玩具店,看中了一只玩具青蛙,零售价格是23元（成本是16元）,便拿出一张100元的钞票给老张,由于老张没有零钱找赎,便到街坊处换了100元的零钞,回来后找了77元给顾客.
后来,街坊说老张的100元是假钞,老张只好再还回100元给街坊.
老张在这次交易中共损失了多少钱?
93
有12个球,有一个坏了,或轻或重.现在有一个天平,怎样可以只称三次而找出坏掉的球
将十二个球编号为1-12.
第一次,先将1-4号放在左边,5-8号放在右边.
1.如果右重则坏球在1-8号.
第二次将2-4号拿掉,将6-8号从右边移到左边,把9-11号放
在右边.就是说,把1,6,7,8放在左边,5,9,10,11放在右边.
1.如果右重则坏球在没有被触动的1,5号.如果是1号,
则它比标准球轻；如果是5号,则它比标准球重.
第三次将1号放在左边,2号放在右边.
1.如果右重则1号是坏球且比标准球轻；
2.如果平衡则5号是坏球且比标准球重；
3.这次不可能左重.
2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号,且比标准球轻.
第三次将2号放在左边,3号放在右边.
1.如果右重则2号是坏球且比标准球轻；
2.如果平衡则4号是坏球且比标准球轻；
3.如果左重则3号是坏球且比标准球轻.
3.如果左重则坏球在拿到左边的6-8号,且比标准球重.
第三次将6号放在左边,7号放在右边.
1.如果右重则7号是坏球且比标准球重；
2.如果平衡则8号是坏球且比标准球重；
3.如果左重则6号是坏球且比标准球重.
2.如果天平平衡,则坏球在9-12号.
第二次将1-3号放在左边,9-11号放在右边.
1.如果右重则坏球在9-11号且坏球较重.
第三次将9号放在左边,10号放在右边.
1.如果右重则10号是坏球且比标准球重；
2.如果平衡则11号是坏球且比标准球重；
3.如果左重则9号是坏球且比标准球重.
2.如果平衡则坏球为12号.
第三次将1号放在左边,12号放在右边.
1.如果右重则12号是坏球且比标准球重；
2.这次不可能平衡；
3.如果左重则12号是坏球且比标准球轻.
3.如果左重则坏球在9-11号且坏球较轻.
第三次将9号放在左边,10号放在右边.
1.如果右重则9号是坏球且比标准球轻；
2.如果平衡则11号是坏球且比标准球轻；
3.如果左重则10号是坏球且比标准球轻.
3.如果左重则坏球在1-8号.
第二次将2-4号拿掉,将6-8号从右边移到左边,把9-11号放
在右边.就是说,把1,6,7,8放在左边,5,9,10,11放在右边.
1.如果右重则坏球在拿到左边的6-8号,且比标准球轻.
第三次将6号放在左边,7号放在右边.
1.如果右重则6号是坏球且比标准球轻；
2.如果平衡则8号是坏球且比标准球轻；
3.如果左重则7号是坏球且比标准球轻.
2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号,且比标准球重.
第三次将2号放在左边,3号放在右边.
1.如果右重则3号是坏球且比标准球重；
2.如果平衡则4号是坏球且比标准球重；
3.如果左重则2号是坏球且比标准球重.
3.如果左重则坏球在没有被触动的1,5号.如果是1号,
则它比标准球重；如果是5号,则它比标准球轻.
第三次将1号放在左边,2号放在右边.
1.这次不可能右重.
2.如果平衡则5号是坏球且比标准球轻；
3.如果左重则1号是坏球且比标准球重；
够麻烦的吧.其实里面有许多情况是对称的,比如第一次称时的右重和右轻,只需考虑一种就可以了,另一种完全可以比照执行.我把整个过程写下来,只是想吓唬吓唬大家.
稍微试一下,就可以知道只称两次是不可能保证找到坏球的.如果给的是十三个球,以上的解法也基本有效,只是要有个小小的改动,就是在这种情况下,在第一第二次都平衡的时候,第三次还是有可能平衡（就是上面的第2.2.2步）,那么我们可以肯定坏球是13号球,可是我们没法知道它到底是比标准球轻,还是比标准球重.如果给的是十四个球,我们会发现无论如何也不可能只称三次,就保证找出坏球.
一个自然而然的问题就是：对于给定的自然数N,我们怎么来解有N个球的称球问题?
在下面的讨论中,给定任一自然数N,我们要解决以下问题：
⑴找出N球称球问题所需的最小次数,并证明以上所给的最小次数的确是最小的；
⑵给出最小次数称球的具体方法；
⑶如果只要求找出坏球而不要求知道坏球的轻重,对N球称球问题解决以上两个问题；
还有一个我们并不是那么感兴趣,但是作为副产品的问题是：
⑷如果除了所给的N个球外,另外还给一标准球,解决以上三个问题.