四阶行列式,要有过程.a^2+1/a^2 a 1/a 1b^2+1/b^2 b 1/b 1c^2+1/c^2 c 1/c 1d^2+1/d^2 c 1/d 1

四阶行列式,要有过程.a^2+1/a^2 a 1/a 1b^2+1/b^2 b 1/b 1c^2+1/c^2 c 1/c 1d^2+1/d^2 c 1/d 1
四阶行列式,要有过程.
a^2+1/a^2 a 1/a 1
b^2+1/b^2 b 1/b 1
c^2+1/c^2 c 1/c 1
d^2+1/d^2 c 1/d 1

四阶行列式,要有过程.a^2+1/a^2 a 1/a 1b^2+1/b^2 b 1/b 1c^2+1/c^2 c 1/c 1d^2+1/d^2 c 1/d 1
请参考这个解答:
将D按第一列分拆
D = D1 + D2
a^2 a a^-1 1 a^-2 a a^-1 1
b^2 b b^-1 1 + b^-2 b b^-1 1
c^2 c c^-1 1 c^-2 c c^-1 1
d^2 d d^-1 1 d^-2 d d^-1 1
第一个行列式D1的第1,2,3,4各行分别乘a,b,c,d,因为 abcd=1,所以
D1 =
a^3 a^2 1 a
b^3 b^2 1 b
c^3 c^2 1 c
d^3 d^2 1 d
交换列(奇数次)
= -
1 a a^2 a^3
1 b b^2 b^3
1 c c^2 c^3
1 d d^2 d^3
第一个行列式D1的第1,2,3,4各行分别乘a^2,b^2,c^2,d^2,因为 abcd=1,所以
D2 =
1 a^3 a a^2
1 b^3 b b^2
1 c^3 c c^2
1 d^3 d d^2
交换列(偶数次)
=
1 a a^2 a^3
1 b b^2 b^3
1 c c^2 c^3
1 d d^2 d^3
所以 D = D1+D2 = 0.

范德蒙德行列式呀，幸亏大学还记得一点
要求上式，只要求（符号自己添加）
a^2+1/a^2 a 1 1/a
b^2+1/b^2 b 1 1/b
c^2+1/c^2 c 1 1/c
d^2+1/d^2 d 1 ...

全部展开

范德蒙德行列式呀，幸亏大学还记得一点
要求上式，只要求（符号自己添加）
a^2+1/a^2 a 1 1/a
b^2+1/b^2 b 1 1/b
c^2+1/c^2 c 1 1/c
d^2+1/d^2 d 1 1/d
因此我们需要添加一项
a^2+1/a^2 a^2 a 1 1/a
b^2+1/b^2 b^2 b 1 1/b
c^2+1/c^2 c^2 c 1 1/c
d^2+1/d^2 d^2 d 1 1/d
m^2+1/m^2 m^2 m 1 1/m
再转化一步（第一列减去第二列）
1/a^2 a^2 a 1 1/a
1/b^2 b^2 b 1 1/b
1/c^2 c^2 c 1 1/c
1/d^2 d^2 d 1 1/d
1/m^2 m^2 m 1 1/m
再把第一列放到最后一列（符号自己添加）
a^2 a 1 1/a 1/a^2
b^2 b 1 1/b 1/b^2
c^2 c 1 1/c 1/c^2
d^2 d 1 1/d 1/d^2
m^2 m 1 1/m 1/m^2
标准的范德蒙德行列式，而所求行列式就是m^2项系数
结束

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