巧算：二分之一+三分之一+三分之二+四分之一+四分之二+四分之三+五分之一+五分之二+五分之三+五分之四+···+四十分之一+四十分之二+···+四十分之三十八+四十分之三十九

巧算：二分之一+三分之一+三分之二+四分之一+四分之二+四分之三+五分之一+五分之二+五分之三+五分之四+···+四十分之一+四十分之二+···+四十分之三十八+四十分之三十九
巧算：二分之一+三分之一+三分之二+四分之一+四分之二+四分之三+五分之一+五分之二+五分之三+五分之四+···+四十分之一+四十分之二+···+四十分之三十八+四十分之三十九

巧算：二分之一+三分之一+三分之二+四分之一+四分之二+四分之三+五分之一+五分之二+五分之三+五分之四+···+四十分之一+四十分之二+···+四十分之三十八+四十分之三十九
*代表乘号
1/2+(1/3+2/3)+(1/4+2/4+3/4)+（1/5+2/5+3/5+4/5）+...+
(1/40+2/40+...+39/40)
=1/2 +1 + （1+1/2）+ （1+1）+（1+1+1/2） +...+（1+1..1+1/2）
=（1/2）*1+（1/2）*2 +（1/2）*3+（1/2）*4+（1/2）*5+...++（1/2）*39
=（1/2）*[1+2+3+...+39]
=（1/2）*780
=390

现分段，同分母的相加，可得等差数列，即1/2+1+3/2+2+...+780/49,公差为1/2,用求和公示：（1/2+780/49)*48/2=结果

按照分母分组，对于每一组，都是以n为分母，以1 2 ... n-1为分子的一系列分数和
分子的和=1/2*(1+n-1)(n-1)=1/2n(n-1)
每组和 = 1/2n(n-1)/n=1/2(n-1)
从n=2 加到n=m
总和=1/2(1+2+...+m-1)=1/2[1/2(1+m-1)(m-1)]=1/4m(m-1)
m=40
1/4*40*(40-1)=390

1/n+2/n+...+(n-1)/n
=[1+2+...+(n-1)]/n
=[n(n-1)/2]/n
=(n-1)/2
所以1/2+1/3+2/3+1/4+2/4+3/4+……+39/40=1/2+2/2+3/2+...+99/2
=(1+2+...+39)/2
=(39*40/2)/2
=390
从别的地方抄的，不过我担心你看不懂

先给一个推导公式:
1/n+2/n+3/n+...+(n-1)/n=[1+2+3+...+(n-1)]/n=(n-1)(1+n-1)/2n=(n-1)/2
再计算
1/2+(1/3+2/3)+(1/4+2/4+3/4)+...+(1/40+2/40+3/40+...+39/40)
=1/2+2/2+3/2+...+39/2
=(1+2+3+...+39)/2
=39*(1+39)/(2*2)
=390

分母为2的有
二分之一，和为1/2
分母为3的有
1/3，2/3，和为2/2
分母为4的有
1/4，2/4，3/4
和为3/2
。。。。
可看出同分母的数之和的分母都为2
分子为原分母-1
即分母为40的数有
1/40，2/40。。。。。39/40
和为39/2
所以
1/2 +1/3...

全部展开

分母为2的有
二分之一，和为1/2
分母为3的有
1/3，2/3，和为2/2
分母为4的有
1/4，2/4，3/4
和为3/2
。。。。
可看出同分母的数之和的分母都为2
分子为原分母-1
即分母为40的数有
1/40，2/40。。。。。39/40
和为39/2
所以
1/2 +1/3 +2/3+。。。。39/40
=1/2+2/2+3/2+39/2
=（1+2+。。。+39）/2
1+。。。+39=（（1+39）*39）/2————（高斯算法）
所以1+2+。。。+39=780
所以
1/2 +1/3 +2/3+。。。。39/40
=1/2+2/2+3/2+39/2
=（1+2+。。。+39）/2
=780/2
=390

收起

可用数列解,通向为(1+2+…n-1)/n=（n-1）/2，
则原式=1/2+2/2+3/2+4/2+5/2+6/2+…39/2=390

二分之一+三分之一+三分之二+四分之一+四分之二+四分之三+五分之一+五分之二+五分之三+五分之四+···+四十分之一+四十分之二+···+四十分之三十八+四十分之三十九
=1/2+1/3+2/3+1/4+2/4+3/4+1/5+2/5+3/5+4/5+...+1/40+2/40+3/40+...+39/40
=1/2+(1+2)/3+(1+2+3)/4+(1+2+3+4)/5+....

全部展开

二分之一+三分之一+三分之二+四分之一+四分之二+四分之三+五分之一+五分之二+五分之三+五分之四+···+四十分之一+四十分之二+···+四十分之三十八+四十分之三十九
=1/2+1/3+2/3+1/4+2/4+3/4+1/5+2/5+3/5+4/5+...+1/40+2/40+3/40+...+39/40
=1/2+(1+2)/3+(1+2+3)/4+(1+2+3+4)/5+...+(1+2+...+39)/40
=1/2+2/2+3/2+4/2+...+39/2
=(1/2)*(1+2+3+...+39)
=(1/2)*(1+39)*39/2
=390
1/n+2/n+...+(-1)/n
=(1+2+...+n-1)/n
=(1+n-1)*(n-1)/(2n)
=(n-1)/2

收起

二分之一+（三分之一+三分之二）+（四分之一+四分之二+四分之三）+（五分之一+五分之二+五分之三+五分之四）+···+（四十分之一+四十分之二+···+四十分之三十八+四十分之三十九）（每个括号里面的值为最大分子数除以二）
=二分之一+（二分之二）+（二分之三）+（二分之四）+……+（二分之三十九）
=19×（40/2）+20/2
=380+10=390...

全部展开

二分之一+（三分之一+三分之二）+（四分之一+四分之二+四分之三）+（五分之一+五分之二+五分之三+五分之四）+···+（四十分之一+四十分之二+···+四十分之三十八+四十分之三十九）（每个括号里面的值为最大分子数除以二）
=二分之一+（二分之二）+（二分之三）+（二分之四）+……+（二分之三十九）
=19×（40/2）+20/2
=380+10=390

收起

可以写出上试中的通式为：∑(N-1)/2 (N为上试中的分母) 其中N的值是[2,40]
可以看出后一项减去前一项的值是固定的,即
[(N+1)-1]/2 - (N-1)/2 =1/2
就是(1/3+2/3)-1/2=1/2......(1/4+2/4+3/4)-(1/3+2/3)=1/2....
简单的说就是有递增关系,分母为3的总和比分母为2的总和多1/2，不知...

全部展开

可以写出上试中的通式为：∑(N-1)/2 (N为上试中的分母) 其中N的值是[2,40]
可以看出后一项减去前一项的值是固定的,即
[(N+1)-1]/2 - (N-1)/2 =1/2
就是(1/3+2/3)-1/2=1/2......(1/4+2/4+3/4)-(1/3+2/3)=1/2....
简单的说就是有递增关系,分母为3的总和比分母为2的总和多1/2，不知道这么说你明不明白
所以上试可以简化为:1/2+2/2+3/2+4/2+5/2+......+39/2=390

收起

原式
=1/2 (1/3 2/3) 2/4 (1/4 3/4) ...... (19/40 21/40)
=20*(1/2) 1 1 2 2 3 3 ......19 19
=10 2*(1 2 ...... 18 19)
=10 2*[(1 19)*19/2]
=10 2*(10*19)
=10 380
=390

每组数都加1，规律就比较明显。
则An=n(1+n)/2n=(1+n)/2 {n∈（2,40）} 此数列为等差数列
A1=3/2 A40=41/2
Sn=39/2*(3/2+41/2)-39=390