limx趋近于0 { [(1+x)^(1/x)]--e}/x

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 16:37:14
limx趋近于0{[(1+x)^(1/x)]--e}/xlimx趋近于0{[(1+x)^(1/x)]--e}/xlimx趋近于0{[(1+x)^(1/x)]--e}/x[(1+x)^(1/x)]''={

limx趋近于0 { [(1+x)^(1/x)]--e}/x
limx趋近于0 { [(1+x)^(1/x)]--e}/x

limx趋近于0 { [(1+x)^(1/x)]--e}/x
[(1+x)^(1/x)]'
={e^ln[(1+x)^(1/x)]}'
=[(1+x)^(1/x)]*[ln(1+x)/x]'
=[(1+x)^(1/x)]*[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2
所以
lim(x→0) { [(1+x)^(1/x)]--e}/x (0/0,用洛必达法则)
=lim(x→0)[(1+x)^(1/x)]*[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2
=lim(x→0)[(1+x)^(1/x)]*lim(x→0)[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2
=elim(x→0)[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2
=elim(x→0)[x-(1+x)ln(1+x)]/[x^2(1+x)]
=elim(x→0)[x-(1+x)ln(1+x)]/x^2 (0/0,用洛必达法则)
=elim(x→0)[1-ln(1+x)-1]/(2x)
=elim(x→0)-ln(1+x)/(2x)
=elim(x→0)-x/(2x)
=-e/2

为什么倒数第六步可以得到倒数第五步.分母分明少了(1+x)