已知 x^2-yz=y^2-xz=z^2-xy,求证 x=y=z或x+y+z=0

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 18:56:36
已知x^2-yz=y^2-xz=z^2-xy,求证x=y=z或x+y+z=0已知x^2-yz=y^2-xz=z^2-xy,求证x=y=z或x+y+z=0已知x^2-yz=y^2-xz=z^2-xy,求

已知 x^2-yz=y^2-xz=z^2-xy,求证 x=y=z或x+y+z=0
已知 x^2-yz=y^2-xz=z^2-xy,求证 x=y=z或x+y+z=0

已知 x^2-yz=y^2-xz=z^2-xy,求证 x=y=z或x+y+z=0
1.x²-yz=y²-xz
x²-yz-y²+xz=0
(x+y)(x-y)+z(x-y)=0
(x-y)(x+y+z)=0
∴x=y或x+y+z=0
2.x²-yz=z²-xy
x²-z²-yz+xy=0
(x+z)(x-z)+y(x-z)=0
(x-z)(x+y+z)=0
∴x=z或x+y+z=0
综上所述 x=y=z 或x+y+z=0

证:由上可得:x(x+z)=y(y+z)=y(x+y)=z(x+z)=x(x+y)=z(z+y)
所以:可得x=y=z

假设 x>y 则 x^2>y^2 yz<=xz 所以x^2-yz>y^2-xz 所以x>=y
同理 x<=y
所以 x=y
同理 x=z
所以x=y=z