在平行四边形ABCD中,P在BC上Q在CD 上,连接BD,PQ,且BD平行于PQ,求S△ABP＝S△ADQ
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 22:18:12
在平行四边形ABCD中,P在BC上Q在CD 上,连接BD,PQ,且BD平行于PQ,求S△ABP＝S△ADQ
在平行四边形ABCD中,P在BC上Q在CD 上,连接BD,PQ,且BD平行于PQ,求S△ABP＝S△ADQ
在平行四边形ABCD中,P在BC上Q在CD 上,连接BD,PQ,且BD平行于PQ,求S△ABP＝S△ADQ
因为PQ//BD
所以DQ/AB=DB/BC
所以AB*PB=DQ*BC
又因为S△ABP=AB*PB*（sin角ABP)
S△ADQ=DQ*BC(sin角ADQ)
所以S△ABP＝S△ADQ
显然P为BC中点，Q为CD中点。故DQ为AB长度的一半，过A做CD垂线，垂足为X，过P做AB垂线，垂足为Y,因为P为BC中点，故PY=1/2AX，所以AX*DQ=AB*PY，得证。
省了几个简单的你能证的步骤~~
过A做BC垂线是h1，做DC垂线是h2，所以DC·h2=BC·h1（都是平行四边形的面积）
又因为DC/DQ=BC/BP（△PQC和△BDC相似）
所以2S△ABP=h1·BP=h1·（BC·DQ/DC）=（DC/BC·h2）·（BC·DQ/DC）=h2·DQ=2S△ADQ
任意三角形ABC有面积公式S=1/2 AB·AC sin∠A
回到原题，假设AB=DC=a，AD=BD=b，BP=x，DQ=y，则由BD平行于PQ，可知y/a=x/b，从而ax=by。而平行四边形ABCD蕴含∠B=∠D
再利用三角形面积公式知S△ABP=1/2 AB·BP sin∠B=1/2 ax sin∠B=1/2 by sin∠D=1/2 AD·DQ sin∠D=S△ADQ。
设AB=b，AD=a，BP=c，AD与BC之间距离也就是高为h，△ADQ中AD边上高为d
S△ABP=ch/2,S△ADQ=ad/2
由BD平行于PQ知 BP/BC=DQ/DC，又DQ/DC=d/h，所以c/a=d/h，代入上式，得ch/2=ad/2
从而S△ABP=S△ADQ
（注：这一题用三角函数更好做，就是不知道你有没有学过。。。）...
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设AB=b，AD=a，BP=c，AD与BC之间距离也就是高为h，△ADQ中AD边上高为d
S△ABP=ch/2,S△ADQ=ad/2
由BD平行于PQ知 BP/BC=DQ/DC，又DQ/DC=d/h，所以c/a=d/h，代入上式，得ch/2=ad/2
从而S△ABP=S△ADQ
（注：这一题用三角函数更好做，就是不知道你有没有学过。。。）
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连接AC，对于△ABP和△ABC，它们有公共顶点A，且A点的对边BP和BC在同一直线上，那么这两个三角形自A点引的高将是同一线段，所以S△ABP/S△ABC=BP/BC……①；
同理，S△ADQ/S△ADC=DQ/DC……②。
熟知平行四边形ABCD中，△ABC≌△ADC，S△ABC=S△ADC……③，
而由PQ∥BD得比例线段CP/BC=CQ/DC，可以导出BP/BC=D...
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连接AC，对于△ABP和△ABC，它们有公共顶点A，且A点的对边BP和BC在同一直线上，那么这两个三角形自A点引的高将是同一线段，所以S△ABP/S△ABC=BP/BC……①；
同理，S△ADQ/S△ADC=DQ/DC……②。
熟知平行四边形ABCD中，△ABC≌△ADC，S△ABC=S△ADC……③，
而由PQ∥BD得比例线段CP/BC=CQ/DC，可以导出BP/BC=DQ/DC……④，
比较①、②，并将③、④代入立得S△ABP=S△ADQ。
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