在等比数列{an}(n∈N*)中,a1>1,公比q>0.设bn=log2an,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0.(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an;(3)试比较an与Sn的大小
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/02/07 16:42:39
在等比数列{an}(n∈N*)中,a1>1,公比q>0.设bn=log2an,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0.(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an;(3)试比较an与Sn的大小
在等比数列{an}(n∈N*)中,a1>1,公比q>0.设bn=log2an,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0.
(1)求证:数列{bn}是等差数列;
(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an;
(3)试比较an与Sn的大小
在等比数列{an}(n∈N*)中,a1>1,公比q>0.设bn=log2an,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0.(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an;(3)试比较an与Sn的大小
1.
证:
b1+b3+b5=log2(a1)+log2(a3)+log2(a5)
=log2(a1a3a5)
=log2[(a3/q²)a3(a3q²)]
=log2(a3³)
=3log2(a3)=6
log2(a3)=2
a3=4
b1b3b5=0
log2(a1)×log2(a3)×log2(a5)=0
log2(a1),log2(a3),log2(a5)中至少有一个为0,又log2(a3)=2≠0,a1>1,log2(a1)>0,因此只有log2(a5)=0
a5=1 q²=a5/a3=1/4 q=1/2
b(n+1)-bn=log2[a(n+1)]-log2(an)=log2[a(n+1)/an]=log2(1/2)=-1,为定值.
b1=log2(a1)=log2(a3/q²)=log2[4/(1/2)²]=log2(16)=4
数列{bn}是以4为首项,-1为公差的等差数列.
2.
bn=4-(n-1)=5-n
Sn=5n-(1+2+...+n)=5n-n(n+1)/2=n(9-n)/2
bn=log2(an)
an=2^(bn)=2^(5-n)=32/2ⁿ
数列{an}的通项公式为an=32/2ⁿ.
3.
n≥9时,Sn≤0,而an恒>0,此时an>Sn
n<9时,
分别取n=1,2,3,4,……8,进行验证
得
n=1,n=2时,an>Sn
n=3,4,……,8时,anSn
n为3,4,5,6,7,8时,an