已知函数f(x)=1/3ax^3+1/2bx^2+cx.(I)若f'(1)=-1/2a,3a>2c>2b,试问：导函数f'(x)在区间(0,2)内是否有零点,并说明理由.(II)在上面条件下,若导函数f'(x)的两个零点之间的距离不小于根号3,求b/a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 13:53:43
已知函数f(x)=1/3ax^3+1/2bx^2+cx.(I)若f'(1)=-1/2a,3a>2c>2b,试问：导函数f'(x)在区间(0,2)内是否有零点,并说明理由.(II)在上面条件下,若导函数f'(x)的两个零点之间的距离不小于根号3,求b/a的取值范围
已知函数f(x)=1/3ax^3+1/2bx^2+cx.(I)若f'(1)=-1/2a,3a>2c>2b,试问：导函数f'(x)在区间(0,2)内是否有零点,并说明理由.
(II)在上面条件下,若导函数f'(x)的两个零点之间的距离不小于根号3,求b/a的取值范围
已知函数f(x)=1/3ax^3+1/2bx^2+cx.(I)若f'(1)=-1/2a,3a>2c>2b,试问：导函数f'(x)在区间(0,2)内是否有零点,并说明理由.(II)在上面条件下,若导函数f'(x)的两个零点之间的距离不小于根号3,求b/a的取值范围
1,因f'（x）=ax2+bx+c,f′(1)=-1/2a,
所以 a+b+c=-1/2a,3a+2b+2c=0．
因3a＞2c＞2b,
所以3a＞0,2b＜0,a＞0,b＜0．
f′(1)=-1/2a＜0,因为 f′(0)=c＞0,f'（0）=c,f'（2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．
(1)当c＞0时,f′(0)=c＞0,f′(1)=-1/2a＜0
f'（x）在区间（0,1）内至少有一个零点
(2)当c≤0时,f′(0)=c＞0,f′(2)=a-c＞0
f'（x）在区间（1,2）内至少有一零点．
所以导函数f'（x）在区间（0,2）内至少有一个零点．
2,设m,n是导函数f'（x）=ax2+bx+c的两个零点m+n=-b/a,mn=c/a= -3/2-b/a
|m-n|=√[(m+n)^2-4mn]=√[(b/a+2)^2+2]
又由已知得:√[(b/a+2)^2+2]>√3
(b/a+2)^2+2>3,(b/a+2)^2>1解得
b/a≥-1或b/a≤-3
又因,2c=-3a-2b,3a＞2c＞2b
所以,3a＞-3a-2b＞2b,则有,-3a＜b＜-3/4a
因a＞0,所以,-3＜b/a＜-3/4
综上所述,b/a的取值范围是[-1,-3/4)
令g(x)=f'(x)=ax^2+bx+c
g(1)=a+b+c = -1/2a 所以 3a + 2b + 2c = 0 由于 3a>2c>2b 所以 3a >0 ， 2b < 0 即a>0，b<0
所以g（x）图像开口向上，g（1）<0
假设(0,2)内有零点，那么一定有g(2)>0或者 g(0) > 0 所以问题转化为判断g（2）、g（0）的正负。
g(0)...
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令g(x)=f'(x)=ax^2+bx+c
g(1)=a+b+c = -1/2a 所以 3a + 2b + 2c = 0 由于 3a>2c>2b 所以 3a >0 ， 2b < 0 即a>0，b<0
所以g（x）图像开口向上，g（1）<0
假设(0,2)内有零点，那么一定有g(2)>0或者 g(0) > 0 所以问题转化为判断g（2）、g（0）的正负。
g(0)= c ，分两种情况，
1、假如c>0 则有零点。
2、假如c≤0，则判断g（2）
g(2)= 4a+2b+c ，将2b= -（3a + 2c ） 代入，得到 g(2)= 4a - 3a - 2c + c = a -c >0
所以当 c≤0时，g（2）>0
所以g（0）和g（2）至少有1个大于0，所以导函数f'(x)在区间(0,2)内必有零点。
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