函数方程之前有位仁兄出了这么一道题,最后有人给了结果.但我还是不太明白,知道解满足方程,但不知道是否唯一 题目如下： 当x→+∞,f(2x,y)-f(x,y)→y,求f(x,y) f(x,y)=ylog2(x) 的确满足上述式子,但
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/09 10:34:33
函数方程之前有位仁兄出了这么一道题,最后有人给了结果.但我还是不太明白,知道解满足方程,但不知道是否唯一 题目如下： 当x→+∞,f(2x,y)-f(x,y)→y,求f(x,y) f(x,y)=ylog2(x) 的确满足上述式子,但
函数方程
之前有位仁兄出了这么一道题,最后有人给了结果.但我还是不太明白,知道解满足方程,但不知道是否唯一
题目如下：
当x→+∞,f(2x,y)-f(x,y)→y,求f(x,y)
f(x,y)=ylog2(x)
的确满足上述式子,但这个解唯一吗?如果不唯一,那么其他解是什么?要保证唯一性,最少还需添加什么条件呢?
函数方程之前有位仁兄出了这么一道题,最后有人给了结果.但我还是不太明白,知道解满足方程,但不知道是否唯一 题目如下： 当x→+∞,f(2x,y)-f(x,y)→y,求f(x,y) f(x,y)=ylog2(x) 的确满足上述式子,但
这个题目不是个好题目,只给出了趋近无穷的性质,那么,我们可以构造无穷多个函数,满足在趋近于无穷的性质.而在开始的时候选择可以任意,在无穷的时候,选择合适的函数满足要求即可.
另外,即便你给出的那个表达式：ylog2(x).如果随便加个常数,那么,必定也是符合要求的,仍然是无穷多.
ylog2(x)+C都是满足要求的精确解.
至于,你提的问题,如何使问题的结果唯一,就像前面提过的两点,个人愚见,至少：
(1)必须给出包括x,y非常小的其他条件
(2)去除常数C.
针对你的问题
1.这个解唯一吗？
答：不唯一。如将参考解f(x,y)=ylog2(x) 变成f(x,y)=ylog4(x^2) 或ylog8(x^3) 也满足条件
2.如果不唯一，那么其他解是什么？
答：如上，但是我们不能就此说其他的解全是ylog2^n(x^n) + f(y)的形式,因为可能还有些其他的形式。（注意f(y)也是不定的!)
3.要保证唯一性...
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针对你的问题
1.这个解唯一吗？
答：不唯一。如将参考解f(x,y)=ylog2(x) 变成f(x,y)=ylog4(x^2) 或ylog8(x^3) 也满足条件
2.如果不唯一，那么其他解是什么？
答：如上，但是我们不能就此说其他的解全是ylog2^n(x^n) + f(y)的形式,因为可能还有些其他的形式。（注意f(y)也是不定的!)
3.要保证唯一性，最少还需添加什么条件呢？
答：如果是由常微分方程给出的，就可以用皮亚诺判别法，李氏条件等来判断。而这也是合理的，但作为极限条件，不确定性非常大，不能说那个条件或哪些条件就能判断。
另外：楼主，我想这个出题人只是想让你举出一个例子来，并非让你严格给出所有情况，而这也不现实，我觉得知道结果就行。
还有楼上分析的不错。
个人观点。
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