三角函数式的具体应用
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 18:33:45
三角函数式的具体应用
三角函数式的具体应用
三角函数式的具体应用
三角函数,正如其名称那样,在三角学中是十分重要的,主要是因为下列两个结果.
正弦定理
于边长为 a,b 和 c 而相应角为 A,B 和 C的三角形,有：sinA / a = sinB / b = sinC/c 也可表示为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 其中R是三角形的外接圆半径.它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明.在这个定理中出现的公共数 (sinA)/a 是通过 A,B 和 C 三点的圆的直径的倒数.正弦定理用于在一个三角形中（1）已知两个角和一个边求未知边和角（2）已知两边及其一边的对角求其他角和边的问题.这是三角测量中常见情况.
余弦定理
对于边长为 a,b 和 c 而相应角为 A,B 和 C的三角形,有：c²= a² + b² - 2ab*cosC 也可表示为：cosC=（a²+b²-c²）/ 2ab 这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明.余弦定理用于在一个三角形的两个边和一个角已知时确定未知的数据.如果这个角不是两条边的夹角,那么三角形可能不是唯一的（边-边-角）.要小心余弦定理的这种歧义情况.
正切定理
对于边长为 a,b 和 c 而相应角为 A,B 和 C的三角形,有：(a+b)/(a-b) = tan[(A+B)/2]/tan[(A-B)/2]
编辑本段三角函数在解三次方程中的应用
一元三次方程的解是三个不相等的实根时,可用三角函数知识求出方程的解.一元三次方程aX³＋bX²＋cX＋d=0,（a,b,c,d∈R,且a≠0） 重根判别式：A=b²－3ac；B=bc－9ad；C=c²－3bd,总判别式：Δ=B^2－4AC.当Δ=B^2－4AC＜0时,盛金公式④：X⑴=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)； X(2,3)=(－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a),其中θ=arccosT,T=(2Ab－3aB)/(2A^(3/2)),(A＞0,－1＜T＜1).在利用卡尔丹公式解三次方程时,对于x^3+px+q=0,有 x1=√(-p/3)cos(Φ/3) x2=√(-p/3)cos(Φ/3+2π/3) x3=√(-p/3)cos(Φ/3+4π/3) 对于一般的方程ax^3+bx^2+cx+d=0,只需令x=y-b/(3a)即可化为上式求解.例：一建筑物的楼顶要建一个储水池,按施工的设计要求,这个储水池的长、宽、高之和为70.5dm（为了减少占用楼顶面积,取长＞高＞宽）,满储水量为10082.44(dm)＾3,立体对角线为1903.17dm,问：如何施工才能达到设计要求?设取长、宽、高分别为X⑴、X⑵、X⑶,依题意：X⑴＋X⑵＋X⑶=70.5； X⑴·X⑵·X⑶=10082.44； X⑴^2＋X⑵^2＋X⑶^2=1903.17.解这个方程组.根据韦达定理,得一元三次方程：X＾3－70.5X＾2＋1533.54X－10082.44=0 a=1,b=－70.5,c=1533.54,d=－10082.44.A=369.63；B=－17372.61；C=219308.8716,Δ=－22444974.63＜0.根据盛金判别法,此方程有三个不相等的实根.应用盛金公式④求解.θ=90°.把有关值代入盛金公式④,得：X⑴=12.4(dm)；X⑵=34.6(dm)；X⑶=23.5(dm).经检验,结果正确.因为取长＞高＞宽,所以,应取长为34.6dm；高为23.5dm；宽为12.4dm来进行施工.