如图,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰三角形；③S四边形AEPF=二分之一S△ABC；④EF=AP.当∠EPF在△AB
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 04:43:42
如图,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰三角形；③S四边形AEPF=二分之一S△ABC；④EF=AP.当∠EPF在△AB
如图,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰三角形；③S四边形AEPF=二分之一S△ABC；④EF=AP.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合）,上述结论中始终正确的有：
（2）选择其中两个正确结论给予证明
如图,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰三角形；③S四边形AEPF=二分之一S△ABC；④EF=AP.当∠EPF在△AB
（1） ①,②,③,
（2） ①：
证明：
连接AP
∵∠BAC=90°
AB=AC
∴△ABC为等腰Rt△
∴∠C=∠B=45°
∴AP为△ABC中线,角平分线,高线（等腰三角形三线合一）
∴∠PAC=∠PAB＝45°
＝∠C
∴AP=PC
∵∠EPF=90°
∴∠BPE+∠FPC=90°
∵AP为△ABC高线
∴APB=90°
∴∠BPE+∠APE=90°
又∠BPE+∠FPC=90°
∴∠APE=∠FPC
在△APE和△CPF中
∠PAB=∠C
AP=PC
∠APE=∠FPC
∴△APE≌△CPF（ASA）
∴AE=CF
②证明∵△APE≌△CPF
∴EP=FP
∴△EPF是等腰三角形
正确的有：②
除4外都对，证明时连结AP
只有④不正确
连结AP
∴∠APC＝90°＝∠EPF
∴∠APE＝∠FPC
∵∠PAE＝∠C＝45°，PA＝PC
∴△PAE≌△PFC
∴AE＝CF，PE＝PF，S△PAE＝S△PFC
∴S四边形AEPF＝S△PAE＋S△PAF＝S△PFC＋S△PAF＝S△PAC＝1/2S△ABC
当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时，EF的长度不断...
全部展开
只有④不正确
连结AP
∴∠APC＝90°＝∠EPF
∴∠APE＝∠FPC
∵∠PAE＝∠C＝45°，PA＝PC
∴△PAE≌△PFC
∴AE＝CF，PE＝PF，S△PAE＝S△PFC
∴S四边形AEPF＝S△PAE＋S△PAF＝S△PFC＋S△PAF＝S△PAC＝1/2S△ABC
当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时，EF的长度不断变化，而AP始终等于1/2BC，故二者不一定相等
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