设等比数列{an}的各项均为正数,项数是偶数,它的所有项的和等于偶数项和的4倍,且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍,问数列{lgan}的前多少项和最大?(lg2=0.3,lg3=0.4)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 17:36:44
设等比数列{an}的各项均为正数,项数是偶数,它的所有项的和等于偶数项和的4倍,且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍,问数列{lgan}的前多少项和最大?(lg2=0.3,lg3=0.4)
设等比数列{an}的各项均为正数,项数是偶数,它的所有项的和等于偶数项和的4倍,
且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍,问数列{lgan}的前多少项和最大?(lg2=0.3,lg3=0.4)
设等比数列{an}的各项均为正数,项数是偶数,它的所有项的和等于偶数项和的4倍,且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍,问数列{lgan}的前多少项和最大?(lg2=0.3,lg3=0.4)
数列各项均为正,则首项a1>0,公比q>0.设数列共有2n项,则奇数项、偶数项各n项.偶数项是以a2为首项,q²为公比的等比数列.
若q=1,则an=a1 所有项之和S(2n)=2na1 偶数项之和S偶=na1
S(2n)/S偶=(2na1)/(na1)=2≠4,与已知矛盾,因此q≠1
S(2n)/S偶=4
{a1[q^(2n)-1]/(q-1)}/{a2[(q²)ⁿ-1]/(q-1)}=4
a1/(a1q)=4
1/q=4
q=1/4
(a2a4)/(a3+a4)=9
a1²q⁴/(a1q²+a1q³)=9
整理,得
a1q²/(1+q)=9
a1=9(1+q)/q²=9(1+1/4)/(1/4)²=180
an=a1q^(n-1)=180×(1/4)^(n-1)=45/4^(n-3)
lg(an)=lg[45/4^(n-3)]=lg(45)-lg[4^(n-3)]
=lg(9×10/2)-(n-3)lg4
=(2lg3+1 -lg2)-2(n-3)lg2
=(2×0.4-0.3)-2(n-3)×0.3
=0.5 -0.6(n-3)
=-0.6n+2.3
令lg(an)≥0
-0.6n+2.3≥0 n≤23/6,又n为正整数,n≤3,即数列{lg(an)}前3项>0,从第4项开始,以后各项均