证明:多项式g(x)=1+x^2+x^4...+x^2n能整除f(x)=1+x^4+x^8...+x^4n的充分必要条件是n为偶数如题充分性和必要性都要证明

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 03:55:07
证明:多项式g(x)=1+x^2+x^4...+x^2n能整除f(x)=1+x^4+x^8...+x^4n的充分必要条件是n为偶数如题充分性和必要性都要证明证明:多项式g(x)=1+x^2+x^4..

证明:多项式g(x)=1+x^2+x^4...+x^2n能整除f(x)=1+x^4+x^8...+x^4n的充分必要条件是n为偶数如题充分性和必要性都要证明
证明:多项式g(x)=1+x^2+x^4...+x^2n能整除f(x)=1+x^4+x^8...+x^4n的充分必要条件是n为偶数
如题
充分性和必要性都要证明

证明:多项式g(x)=1+x^2+x^4...+x^2n能整除f(x)=1+x^4+x^8...+x^4n的充分必要条件是n为偶数如题充分性和必要性都要证明
g(x)=1+x^2+x^4...+x^2n能整除f(x)=1+x^4+x^8...+x^4n
f(x)/g(x)=(1+x^4+x^8...+x^4n)/(1+x^2+x^4...+x^2n)
=[(1-x^(2n+2))/(1-x^2)]/[(1-x^(4n+4))/(1-x^4)]
=[1+x^(2n+2)]/(1+x^2) 为整式
[1+x^(2n+2)]/(1+x^2)=x^(2n)-x^(2n-2)+[1+x^(2n-2)]/(1+x^2)
所以 [1+x^(2n+2)]/(1+x^2) 为整式
《==》[1+x^(2n-2)]/(1+x^2) 为整式
《==》[1+x^(2n-6)]/(1+x^2) 为整式
……
《==》[1+x^(0+2)]/(1+x^2) 为整式
所以等价于n为偶数

说下大概过程吧。用等比数列求和公式,得g(x)=(1-x^(2n+2))/(1-x^2),
f(x)=(1-x^(4n+2))/(1-x^4)=g(x)*(1+x^(2n+2))/(1+x^2),故g(x)整除f(x)等价于(1+x^(2n+2))/(1+x^2)是整数。令t=x^2,则有(1+t^(n+1))/(1+t),为整数的条件可这样看:1+t^(n+1)含有因式1+t,即t=-1...

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说下大概过程吧。用等比数列求和公式,得g(x)=(1-x^(2n+2))/(1-x^2),
f(x)=(1-x^(4n+2))/(1-x^4)=g(x)*(1+x^(2n+2))/(1+x^2),故g(x)整除f(x)等价于(1+x^(2n+2))/(1+x^2)是整数。令t=x^2,则有(1+t^(n+1))/(1+t),为整数的条件可这样看:1+t^(n+1)含有因式1+t,即t=-1时1+t^(n+1)=0,从而n为偶数。上述均为等价过程。
补充一下,等价过程就是说可以正推,也可以反推,充分性和必要性同时得到了证明。楼上用的都是等价符号,也是这个道理。

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设f(x),g(x),h(x)都是多项式,若 (f(x),g(x))=1,证明(f(x)+g(x)h(x),g(x))=1 求助一道高等代数多项式的问题证明:多项式g(x)=1+x^2+x^4...+x^2n能整除f(x)=1+x^4+x^8...+x^4n的充分必要条件是n为偶数 设f(x),g(x),h(x)都是多项式,证明::(f(x),g(x))=(f(x)-g(x)h(x),g(x)) 设f(x),g(x)不全为零,证明(f(x),g(x)+f(x))=(g(x),g(x)-f(x)) 高等代数 多项式 设f(x),g(x),h(x)都是多项式,h(x)的首项系数为1证明:(f(x)h(x),g(x)h(x))=(f(x),g(x))h(x) 设f(x),g(x)为数域f上的不全为零多项式.证明[f(x),g(x)]=[f(x),f(x)+g(x)] 数学多项式证明题证明(f(x).g(x))=(f(x) g(x).f(x)-g(x))f(x)和g(x)是不为零的多项式!证明(f(x).g(x))=(f(x) g(x).f(x)-g(x)) 若g(x)=1/2 [f(x)+f(-x)],证明g`(x)是奇函数 高等代数 多项式f(x)与g(x)互素,证明f(x)*g(x)与f(x)+g(x)互素 多项式函数G(X)=X^4+X^3+1 G(X)=11001 这个11001 是怎么算出来的???? 证明:多项式g(x)=1+x^2+x^4...+x^2n能整除f(x)=1+x^4+x^8...+x^4n的充分必要条件是n为偶数如题充分性和必要性都要证明 一道多项式题目求证明!证明:f(x),g(x)互素的充要条件是对任意多项式φ(x),有u(x)f(x)+v(x)g(x)=φ(x). 高等代数(x^2+1)h(x)+(x-1)f(x)+(x+2)g(x)=0(x^2+1)h(x)+(x+1)f(x)+(x-2)g(x)=0证明h(x)|(f(x),g(x)) 多项式证明题,已知多项式P(x),Q(x),R(x)S(x)满足:P(x^5)+xQ(x^5)+(x^2)R(x^5)=(1+x+x^2+x^3+x^4)S(x),证明S(1)=P(1)=Q(1)=R(1)=0 f(x),g(x)是整系数多项式,g(x)是本原,f(x)=g(x)h(x),h(x)是有理系数多项式,证明:h(x)是整系数的 f(x),g(x)是整系数多项式,g(x)是本原,f(x)=g(x)h(x),h(x)是有理系数多项式,证明:h(x)是整系数的 用配方法证明:对于任意实数X,多项式3X^2-5X-1的值总大于多项式2X^2-4X-7的值 高等代数多项式证明,若p(x)为不可约多项式,p(x)不整除g(x),证明p(x)不整除g(x)p'(x)!