设a>0,b
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 12:21:09
设a>0,b
设a>0,b
设a>0,b
原题条件应为：a>0,b>0,a+b≤2√2,否则无意义.
设曲线S的切线的切点为 (m,m(m−a)(m−b))
切线的斜率为 k = f '(m)= 3m^2 − 2(a+b)m + ab
据此可求出切线方程：y-S（m）=k（x-m） （符号难打,请自行展开）
又因为切线过（0,0）,带入解得m=0或m=（a+b）/2 （符号难打,一下将（a+b）/2 设为M）
此时其斜率k分别为：k1=ab和k2=-M^2+ab=-0.25（a-b）^2
由切线垂直得出：
ab（a-b）^2=4 （可见此处必有 a>0,b>0）
所以：（a+b)^2=(a−b)^2 +4ab ≥ 2 √((a−b)^2 ⋅ 4ab)
带入ab（a-b）^2=4 ,得（a+b)^2≥ 8 ,得a+b≥ 2√2.其中,“等号”成立于(a−b)^2 = 4ab = 4即ab=1时
原题有a+b≤2√2,所以a+b=2√2.取等号,则ab=1.
现在你可以再算出a与b的值带入S
也可以把S展开带入（a+b）和ab
最后S的方程是：y = x^3 − 2√2 x ^2 + x .
或写作：y = x(x-√2+1)(x-√2-1）
也就是说3次方程的导数有2个根
化简且这2根的乘积=-1（斜率互为负倒数）
y=x[x^2-(a+b)x+ab]
y=x^3-(a+b)x^2+abx
y'=3x^2-2(a+b)x+ab
令y'=0
x1x2=-1=ab/3
所以ab=-3
b=-3/a
因为b<0
所以这里的a+b其实是a-|b|<=2√2
全部展开
也就是说3次方程的导数有2个根
化简且这2根的乘积=-1（斜率互为负倒数）
y=x[x^2-(a+b)x+ab]
y=x^3-(a+b)x^2+abx
y'=3x^2-2(a+b)x+ab
令y'=0
x1x2=-1=ab/3
所以ab=-3
b=-3/a
因为b<0
所以这里的a+b其实是a-|b|<=2√2
(a-|b|)^2<=8
所以a^2+b^2-2a|b|<=8
a^2+9/a^2-6<=8
a^2+9/a^2<=14
(a+3/a)^2<=14+6=20
a+3/a<=2√5
a^2-2√5a+3<=0
a>=[2√5-2√2]/2>=√5-√2
且a<=√5+√2
即a在区间[√5-√2,√5+√2]上
-3/(√5+√2)<=b<=-3/(√5-√2)
即b在区间[-3/(√5√2),-3/(√5-√2)]上
得到的S方程不是一条 是无数条
追问
"也就是说3次方程的导数有2个根,化简且这2根的乘积=-1（斜率互为负倒数）”你这句话有问题，要知道倒数y这里代表斜率，如果这样理解的话，意思就是已经确定了斜率=0，再去求可以让斜率等于0的解。
希望采纳
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