立体几何的问题几何体ABCDE中,DA垂直于平面EAB,CB平行于DA,EA=DA=AB=2CB,EA垂直于AB,M是EC的中点,（1）求证：DM垂直于EB（2）求二面角M-BD-A的余弦值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/06 06:55:05
立体几何的问题几何体ABCDE中,DA垂直于平面EAB,CB平行于DA,EA=DA=AB=2CB,EA垂直于AB,M是EC的中点,（1）求证：DM垂直于EB（2）求二面角M-BD-A的余弦值
立体几何的问题
几何体ABCDE中,DA垂直于平面EAB,CB平行于DA,EA=DA=AB=2CB,EA垂直于AB,M是EC的中点,
（1）求证：DM垂直于EB
（2）求二面角M-BD-A的余弦值
立体几何的问题几何体ABCDE中,DA垂直于平面EAB,CB平行于DA,EA=DA=AB=2CB,EA垂直于AB,M是EC的中点,（1）求证：DM垂直于EB（2）求二面角M-BD-A的余弦值
（1）证法一：取BE中点N,连MN,AN,则MN为三角形BCE中位线,所以
MN//BC,又∵AD//BC,
∴MN//AD,故D、M、N、A共面,
又AD⊥平面ABE,∴MN⊥平面ABE,
又∵BE平面ABE,∴MN⊥BE
又∵AE=AB,所以AN为等要直角三角形BAE底边BE上的高,即AN⊥BE
又∵AD∩NM=N
∴BE⊥平面ANMD
又DM平面ANMD
∴BE⊥DM.5分
证法二：建立如图所示的空间直角坐标系并设EA=DA=AB=2CB=2
则D（0,0,2）、C（0,2,1）,
B(0,2,0),E(2,0,0),M(1,1,).
(1) =(1,1,-),=(-2,2,0)
因为=0从而得DMEB
(2) 解法一：设n1=（x,y,z）是平面BDM的法向量.
则由n1,n1及=（1,1,-）,
=(0,2,-2)
得：
可以取x=1,则=（1,2,2）.
显然,n2=（1,0,0）为平面BDM的法向量.
设二面角M-BD-A的平面角为,则此二面角余弦值
cos===
解法二：取AB中点F,取BD中点H,连NF,FH
由于FH为三角形DAB的中位线,所以FH//AD
所以HF⊥平面ABE,结合MN⊥平面ABE
则FH//MN
又NF为三角形BAE的中位线,所以NF//AE
容易证明：EA⊥平面ABD
NF⊥平面ABD
过M作MG⊥平面ABD,则BD⊥GM,
且垂足必然在FH上,过G作GP⊥BD交于P点
又∵MGGP=G
∴BD⊥平面MGP ,MP平面MGP
∴BD⊥MP∠GPM为二面角M-BD-A的平面角.
不妨设EA=DA=AB=2CB=4
由以上证明可知道NMGF为矩形,所以MG=NF==2,
MN为三角形BCE中位线,所以MN==1,即FG=NM=1
由于FH==BC且HF⊥AB,BC⊥AB,所以BCHF为正方形,则FC⊥BH
FG=1=,所以G为FH中点,则=
∴
有的地方当时是图片,所以的话……缺了一点,不过我提供了2种方案,供你选择