已知连续函数f(x)=x^2+x∫(上限为1下限0)f(x)dx,则f(x)=?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 15:02:25
已知连续函数f(x)=x^2+x∫(上限为1下限0)f(x)dx,则f(x)=?
已知连续函数f(x)=x^2+x∫(上限为1下限0)f(x)dx,则f(x)=?
已知连续函数f(x)=x^2+x∫(上限为1下限0)f(x)dx,则f(x)=?
f(x)=x^2+x∫(0,1)f(x)dx (1)
两边求导得
f'(x)=2x+∫(0,1)f(x)dx
两边再求导得
f''(x)=2
因此么过来积分得
f'(x)=2x+C1
f(x)=x^2+C1x+C2
代入（1）得
f(x)=x^2+x∫[0,1]f(x)dx
=x^2+x∫[0,1][x^2+C1x+C2]dx
=x^2+x*(x^3/3+C1x^2/2+C2x)[0,1]
=x^2+x*(1/3+C1/2+C2)
=x^2+Cx
再代入（1）得
f(x)=x^2+x∫[0,1]f(x)dx
=x^2+x∫[0,1][x^2+Cx]dx
=x^2+x*（x^2/3+Cx^2/2)[0,1]
=x^2+x*(1/3+C/2)
=x^2+Cx
比较系数得
C=1/3+C/2
C=2/3
所以f(x)=x^2+2/3x
再改一下答案：
f(x)=x^2+x∫(0,1)f(x)dx
由于∫(0,1)f(x)dx 是常数,因此令∫(0,1)f(x)dx ＝C
则f(x)=x^2+Cx
反代得
f(x)=x^2+x∫[0,1]f(x)dx
=x^2+x∫[0,1][x^2+Cx]dx
=x^2+x*（x^2/3+Cx^2/2)[0,1]
=x^2+x*(1/3+C/2)
=x^2+Cx
比较系数得
C=1/3+C/2
C=2/3
所以f(x)=x^2+2/3x
f(x)=x^2+x∫[1,0]f(x)dx-------原式
对原式两边从[1,0]积分，可得：
∫[1,0]f(x)dx=1/3*x^3|[1,0]+∫[1,0]f(x)dx*1/2*x^2|[1,0]
所以，∫[1,0]f(x)dx=1/3+∫[1,0]f(x)fx*1/2
移项，得：1/2*∫[1,0]f(x)dx=1/3
所以, ∫[1,0]f(x)dx=2/3
所以可得：f(x)=x^2+2/3*x