定积分与积分变量无关的一道证明题
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/31 02:15:35
定积分与积分变量无关的一道证明题定积分与积分变量无关的一道证明题定积分与积分变量无关的一道证明题因为t的范围是a≤t≤x,且f(x)导数小于零,那么f(x)是减函数,则有f(t)≥f(x)代换后,积分
定积分与积分变量无关的一道证明题
定积分与积分变量无关的一道证明题
定积分与积分变量无关的一道证明题
因为 t 的范围是 a ≤ t ≤ x,且 f(x) 导数小于零,那么 f(x) 是减函数,则有 f(t) ≥ f(x)
代换后,积分是对 t 而言的,那么f(x)就是常数了
因此,不等式右边的积分就是 f(x)∫(a,x)dt = f(x)(x-a)
从而有 ∫(a,x)f(t)dt ≥ f(x)(x-a)
f(x)(x-a) - ∫(a,x)f(t)dt ≤ 0
然后
F'(x) = {(x-a)[∫(a,x)f(t)dt]' -(x-a)'∫(a,x)f(t)dt}/(x-a)^2 = [f(x)(x-a) - ∫(a,x)f(t)dt ]/(x-a)^2 ≤ 0
f(x)单调递减理解的吧，这就是第一个圈成立的原因
a到x内的任一f(t)>=f(x)
第二个圈是因为中间的那个积分是对t的积分，和x无关，所以可以把f(x)放到前面，
剩下的就是从a到x对1的积分，结果就是x-a 了
不知道你那里看不懂？不过这题很简单啊。。。