如图,PA为圆O的切线,A为切点,PBC为割线,∠APC的平分线交AB于点E,交AC于点F,点M为弧BC的中点.求证:AM⊥PF
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 01:07:49
如图,PA为圆O的切线,A为切点,PBC为割线,∠APC的平分线交AB于点E,交AC于点F,点M为弧BC的中点.求证:AM⊥PF
如图,PA为圆O的切线,A为切点,PBC为割线,∠APC的平分线交AB于点E,交AC于点F,点M为弧BC的中点.
求证:AM⊥PF
如图,PA为圆O的切线,A为切点,PBC为割线,∠APC的平分线交AB于点E,交AC于点F,点M为弧BC的中点.求证:AM⊥PF
证明:
∵PA是圆O的切线
∴∠PAB=∠C
∵PF平分∠APB
∴∠APE=∠CPF
∵∠AEF=∠PAB+∠APE,∠AFE=∠C+∠CPF
∴∠AEF=∠AFE
∴AE=AF
∵M是弧BC的中点
∴∠BAM=∠CAM
∴AM⊥EF
即AM⊥PF
证明:PA与圆相切于A,则:∠PAE=∠C;又∠APE=∠CPF.
故∠PAE+∠APE=∠C+∠CPF,即∠AEF=∠AFE.(三角形外角的性质),得:AE=AF.
又弧BM=弧CM,∠BAM=∠CAM.
所以,AM⊥PF.(等腰三角形顶角的平分线也是底边的高)
注:第一步是弦切角的性质,若你没学过,不妨换个方法证明一下∠PAE=∠ACP:
连接AO并延...
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证明:PA与圆相切于A,则:∠PAE=∠C;又∠APE=∠CPF.
故∠PAE+∠APE=∠C+∠CPF,即∠AEF=∠AFE.(三角形外角的性质),得:AE=AF.
又弧BM=弧CM,∠BAM=∠CAM.
所以,AM⊥PF.(等腰三角形顶角的平分线也是底边的高)
注:第一步是弦切角的性质,若你没学过,不妨换个方法证明一下∠PAE=∠ACP:
连接AO并延长,交圆O于N,连接CN.AN为直径,则∠ACN=90度,又∠BAN=∠BCN.则∠PAE=∠ACP(等角的余角相等)
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