三角形ABC是一个等腰三角形,P点是变BC上一点,.由P点分别向AB,AC引垂线PD,PE.判断PD+PE这是为常数吗?在（接上面）这种情况下P点在三角形ABC内时,判断PD+PE+PF为常数吗?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 08:59:35
三角形ABC是一个等腰三角形,P点是变BC上一点,.由P点分别向AB,AC引垂线PD,PE.判断PD+PE这是为常数吗?在（接上面）这种情况下P点在三角形ABC内时,判断PD+PE+PF为常数吗?
三角形ABC是一个等腰三角形,P点是变BC上一点,.由P点分别向AB,AC引垂线PD,PE.判断PD+PE这是为常数吗?在
（接上面）这种情况下P点在三角形ABC内时,判断PD+PE+PF为常数吗?
三角形ABC是一个等腰三角形,P点是变BC上一点,.由P点分别向AB,AC引垂线PD,PE.判断PD+PE这是为常数吗?在（接上面）这种情况下P点在三角形ABC内时,判断PD+PE+PF为常数吗?
1、连接AP（用面积来证）
SΔABC=SΔABP+SΔACP=AB×PD/2 + AC×PE/2=(PD+PE)AB/2 （∵AB=AC）
∴PD+PE=2SΔABC/AB
∴PD+PE为常数
2、还是用上面的方法
可以得到：
(PD+PE)AB+PF×BC=2SΔABC
PD+PE+PF 不为常数
当AB=BC（等边Δ） 为常数
本的叙述不太准确,估计原题中三角形ABC为等边三角形吧?!
1.若P为等边三角形中边BC上的一点,PD,PE分别为AB,AC上的高,则PD+PE等于这个等边三角形一边上的高.
证明:连接PA,作BH垂直AC于H.设AB=AC=BC=m.则:
S⊿ABP+S⊿ACP=S⊿ABC,即:(1/2)AB*PD+(1/2)AC*PE=(1/2)AC*BH.
∴AB*PD+AC...
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本的叙述不太准确,估计原题中三角形ABC为等边三角形吧?!
1.若P为等边三角形中边BC上的一点,PD,PE分别为AB,AC上的高,则PD+PE等于这个等边三角形一边上的高.
证明:连接PA,作BH垂直AC于H.设AB=AC=BC=m.则:
S⊿ABP+S⊿ACP=S⊿ABC,即:(1/2)AB*PD+(1/2)AC*PE=(1/2)AC*BH.
∴AB*PD+AC*PE=AC*BH,即:m*PD+m*PE=m*BH,则:PD+PE=BH.
(说明:本题中,若只是AB=AC,当点P是底边BC上任一点时,结论仍成立,PD+PE等于一腰上的高.证法与上面完全相同,不再赘述)
2.当点P在三角形内时,若⊿ABC为等边三角形,则PD+PE+PF=等边三角形的一条高(定值);若⊿ABC不是等边三角形,则PD+PE+PF不是定值.(证法与上面的类似)
证明:设PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,PF⊥BC于F,BH⊥AC于H.
当AB=BC=AC时,PD+PE+PF为定值BH.
连接PA,PB,PC,则S⊿ABP+S⊿BCP+S⊿ACP=S⊿ABC.
设AB=AC=BC=m,则:(1/2)m*PD+(1/2)m*PE+(1/2)m*PF=(1/2)m*BH.
得:PD+PE+PF=BH.
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