已知一个三角形的周长和面积分别是84和210,一个单位的圆在它的内部滚动一周后回到原来的位置,则这个三角形内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 18:27:02
已知一个三角形的周长和面积分别是84和210,一个单位的圆在它的内部滚动一周后回到原来的位置,则这个三角形内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是
已知一个三角形的周长和面积分别是84和210,一个单位的圆在它的内部滚动一周后回到原来的位置,
则这个三角形内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是
已知一个三角形的周长和面积分别是84和210,一个单位的圆在它的内部滚动一周后回到原来的位置,则这个三角形内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是
分析：由图知,要求的面积有两部分：
①三角形的内部被圆滚过的部分是个三角形,且与原三角形相似,已知了原三角形的周长和面积,可求得原三角形的内切圆半径,进而可得三角形内部被圆滚过部分的三角形的内切圆半径,即可得到两个三角形的相似比,根据相似三角形的性质可求得此三角形的周长和面积；
②三角形边界的三个角的面积；连接单位圆的圆心和原三角形的三顶点,先求得构成的6个小直角三角形的面积,而3个扇形正好构成一个圆,由此可得原三角形边界三个角的面积；
综合①②的面积,即可得所求的值．
如图；
设△ABC的内切圆半径为R,△DEF的内切圆半径为r；
依题意有：1 2 ×84×R=210,即R=5；
易知：△DEF∽△ABC,且r：R=4：5,
∴C△DEF=4 5 C△ABC=67.2；
易知：被圆滚过的三角形内部的三角形也和△ABC相似；
且其内切圆半径为：R-2=3,即其面积=(3 5 )2S△ABC=75.6；
由图知：S四边形AHDG=2S△AGD=AG•1=AG,同理S四边形PEQB=BQ,S四边形CNFM=CM；
∴S四边形AHDG+S四边形PEQB+S四边形CNFM=AG+CM+BQ=1 2 （C△ABC-C△DEF）=8.4；
而S扇形DHG+S扇形PEQ+S扇形FMN=S单位圆=π,
∴所求的面积=75.6+8.4-π=84-π．
点评：此题主要考查的是图形面积的求法,涉及到切线的性质、扇形面积的计算方法、相似三角形以及三角形内切圆半径的求法等知识；需要注意的有两点：
①被圆滚过的三角形内部的三角形与原三角形相似,②原三角形边界的三个扇形正好构成一个单位圆．