请问这道题幂级数求和怎么做
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 01:52:08
请问这道题幂级数求和怎么做请问这道题幂级数求和怎么做请问这道题幂级数求和怎么做记号有点不习惯,按我熟悉的写,结果是:∑{0≤k}C(k+m,k)·x^k=1/(1-x)^(m+1).证明可以对m用数学
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请问这道题幂级数求和怎么做
记号有点不习惯,按我熟悉的写,结果是:∑{0 ≤ k} C(k+m,k)·x^k = 1/(1-x)^(m+1).
证明可以对m用数学归纳法.
m = 0时1/(1-x) = ∑{0 ≤ k} x^k,结论成立.
假设m = n时结论成立,即∑{0 ≤ k} C(k+n,k)·x^k = 1/(1-x)^(n+1).
两边对x求导得∑{1 ≤ k} k·C(k+n,k)·x^(k-1) = (n+1)/(1-x)^(n+2).
而k·C(k+n,k) = k·(k+n)!/(k!·n!) = (n+1)·(k+n)!/((k-1)!·(n+1)!) = (n+1)·C(k+n,k-1).
故∑{1 ≤ k} k·C(k+n,k)·x^(k-1) = (n+1)·∑{1 ≤ k} C(k+n,k-1)·x^(k-1) = (n+1)·∑{0 ≤ k} C(k+n+1,k)·x^k.
即得∑{0 ≤ k} C(k+n+1,k)·x^k = 1/(1-x)^(n+2),m = n+1时结论成立.
由数学归纳法原理,结论对任意自然数m成立.