数列an是q>1 的等比数列,(a10)^2=a15,Sn=a1+a2+…+an,Tn=1/a1+1/a2+…+1/an,求Sn>Tn的最小整数
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/25 04:37:40
数列an是q>1 的等比数列,(a10)^2=a15,Sn=a1+a2+…+an,Tn=1/a1+1/a2+…+1/an,求Sn>Tn的最小整数
数列an是q>1 的等比数列,(a10)^2=a15,Sn=a1+a2+…+an,Tn=1/a1+1/a2+…+1/an,求Sn>Tn的最小整数
数列an是q>1 的等比数列,(a10)^2=a15,Sn=a1+a2+…+an,Tn=1/a1+1/a2+…+1/an,求Sn>Tn的最小整数
设数列an 首项为a1,则:
a10 = a1* q^9;a15 = a1*q^14
(a10)^2=a15 ==> (a1)^2 *q^18 = a1*q^14
==> a1 = 1/q^4
Sn = a1+a2+…+an = a1* (1-q^n)/(1-q)
Tn=1/a1+1/a2+…+1/an
= 1/a1 *[1+1/q + 1/q^2 +.+ 1/q^(n-1)]
= 1/(a1*q^(n-1)) *(1-q^n)/(1-q)
由于 a1 = 1/q^4 >0,q>1
因此 Sn>0,Tn>0
要使 Sn>Tn,只要 Sn/Tn>1,有:
Sn/Tn = (a1)^2*q^(n-1) =q^(n-9)>1
q>1,因此n>9 即可
n为整数,因此最小值 n=10;
结论:满足Sn>Tn的最小整数为 n=10
(a10)^2=(a1)^2q^18=a1q^14。
a1q^4=1、a1=1/q^4。
Sn=(1/q^4)(q^n-1)/(q-1)
Tn=q^4(1-1/q^n)/(1-1/q)=q^(9-n)Sn
n的最小正整数为10。