2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷11题的六点共圆的证明11.（22分）已知△ABC的三边长度各不相等,D,E,F分别是∠A,∠B,∠C的平分线与边BC,CA,AB的垂直平分线的交点.求证：△ABC的面积小于
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 05:44:58
2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷11题的六点共圆的证明11.（22分）已知△ABC的三边长度各不相等,D,E,F分别是∠A,∠B,∠C的平分线与边BC,CA,AB的垂直平分线的交点.求证：△ABC的面积小于
2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷11题的六点共圆的证明
11.（22分）已知△ABC的三边长度各不相等,D,E,F分别是∠A,∠B,∠C的平分线与边BC,CA,AB的垂直平分线的交点.求证：△ABC的面积小于△DEF的面积.
2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷11题的六点共圆的证明11.（22分）已知△ABC的三边长度各不相等,D,E,F分别是∠A,∠B,∠C的平分线与边BC,CA,AB的垂直平分线的交点.求证：△ABC的面积小于
证明：由题设可证,A,B,C,D,E,F六点共圆
不妨设圆半径为1,则有S△ABC=1/2(sin2A+sin2b+sin2c)
S△DEF=1/2(sinA+sinb+sinc)
由于sin2A+sin2b+sin2c
=1/2(sin2A+sin2b)+1/2(sin2b+sin2c)+1/2(sin2A+sin2c)
=sin(A+B)sin(A-B)+sin(B+C)sin(B-C)+sin(C+A)sin(C-A)
法一:
∠A平分线与△ABC外接圆交于弧AB中点;
另一方面, BC垂直平分线交△ABC外接圆于弧AB中点;
故D即弧AB中点.
A、B、C、D共圆，同理可得六点共圆。
法二：
因为BD=DC;
∠BAD=∠CAD
故BD/sin∠BAD=DC/sin∠CAD
从而△ABD与△ADC的外接圆半径相等， 设为R.
则si...
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法一:
∠A平分线与△ABC外接圆交于弧AB中点;
另一方面, BC垂直平分线交△ABC外接圆于弧AB中点;
故D即弧AB中点.
A、B、C、D共圆，同理可得六点共圆。
法二：
因为BD=DC;
∠BAD=∠CAD
故BD/sin∠BAD=DC/sin∠CAD
从而△ABD与△ADC的外接圆半径相等， 设为R.
则sin∠ABD=AD/(2R)=sin∠ACD
又因为∠ABD不等于∠ACD，否则推出△ABC是等腰三角形。
从而∠ABD+∠ACD=180，A、B、C、D共圆.
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