研究函数的微分和积分及其应用的一个数学分支

研究函数的微分和积分及其应用的一个数学分支
研究函数的微分和积分及其应用的一个数学分支

研究函数的微分和积分及其应用的一个数学分支
积分一般分为不定积分、定积分和微积分三种
1.0不定积分
设F(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分.
记作∫f(x)dx.
其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分.
由定义可知：
求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C,就得到函数f(x)的不定积分.
也可以表述成,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数.
2.0定积分
众所周知,微积分的两大部分是微分与积分.微分实际上是求一函数的导数,而积分是已知一函数的导数,求这一函数.所以,微分与积分互为逆运算.
实际上,积分还可以分为两部分.第一种,是单纯的积分,也就是已知导数求原函数,而若F(x)的导数是f(x),那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x),也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x),因为F(x)+C的导数也是f(x),C是无穷无尽的常数,所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的,我们一律用F(x)+C代替,这就称为不定积分.
而相对于不定积分,就是定积分.
所谓定积分,其形式为∫f(x) dx (上限a写在∫上面,下限b写在∫下面).之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数,而不是一个函数.
定积分的正式名称是黎曼积分,详见黎曼积分.用自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形,然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积.实际上,定积分的上下限就是区间的两个端点a、b.
我们可以看到,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来,而积分的本质是求一个函数的原函数.它们看起来没有任何的联系,那么为什么定积分写成积分的形式呢?
定积分与积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系.把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论,可以转化为计算积分.这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式,它的内容是：
若F'(x)=f(x)
那么∫f(x) dx (上限a下限b)=F(a)-F(b)
牛顿-莱布尼兹公式用文字表述,就是说一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差.
正因为这个理论,揭示了积分与黎曼积分本质的联系,可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位,因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理.
3.0微积分
积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函数.在应用上,积分作用不仅如此,它被大量应用于求和,通俗的说是求曲边三角形的面积,这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的.
一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数,这一族函数的导函数恰为前一函数.
其中：[F(x) + C]' = f(x)
一个实变函数在区间[a,b]上的定积分,是一个实数.它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值.
积分 integral 从不同的问题抽象出来的两个数学概念.定积分和不定积分的统称.不定积分是为解决求导和微分的逆运算而提出的.例如：已知定义在区间I上的函数f（x),求一条曲线y＝F（x）,x∈I,使得它在每一点的切线斜率为F′（x）＝ f（x）.函数f（x）的不定积分是f（x）的全体原函数（见原函数）,记作 .如果F(x)是f(x)的一个原函数,则 ,其中C为任意常数.例如, 定积分是以平面图形的面积问题引出的.y＝f（x）为定义在[a,b〕上的函数,为求由x＝a,x＝b ,y＝0和y＝f（x）所围图形的面积S,采用古希腊人的穷竭法,先在小范围内以直代曲,求出S的近似值,再取极限得到所求面积S,为此,先将[a,b〕分成n等分：a＝x0＜x1＜…＜xn＝b,取ζi∈[xi-1,xi〕,记Δxi＝xi－xi-1,则pn为S的近似值,当n→＋∞时,pn的极限应可作为面积S.把这一类问题的思想方法抽象出来,便得定积分的概念：对于定义在[a,b〕上的函数y＝f（x）,作分划a＝x0＜x1＜…＜xn＝b,若存在一个与分划及ζi∈[xi-1,xi〕的取法都无关的常数I,使得,其中则称I为f（x）在[a,b〕上的定积分,表为即 称[a,b〕为积分区间,f（x）为被积函数,a,b分别称为积分的上限和下限.当f（x）的原函数存在时,定积分的计算可转化为求f（x）的不定积分：这是c牛顿莱布尼兹公式
微分
一元微分
定义：

设函数y = f(x)在x.的邻域内有定义,x0及x0 + Δx在此区间内.如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数）,而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小,那么称函数f(x)在点x0是可微的,且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即dy = AΔx.
通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分,记作dx,即dx = Δx.于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx.函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数.因此,导数也叫做微商.
当自变量X改变为X+△X时,相应地函数值由f(X)改变为f(X+△X),如果存在一个与△X无关的常数A,使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差关于△X→0是高阶无穷小量,则称A·△X是f(X)在X的微分,记为dy,并称f(X)在X可微.函数可导必可微,反之亦然,这时A=f′(X).再记A·△X=dy,则dy=f′(X)dX.例如：d(sinX)=cosXdX.
几何意义：
设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量.当|Δx|很小时,|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段.
多元微分
同理,当自变量为多个时,可得出多元微分得定义.
运算法则：
dy=f'(x)dx
d(u+v)=du+dv
d(u-v)=du-dv
d(uv)=du·v+dv·u
d(u/v)=(du·v-dv·u)/v^2