用数学归纳法证明 5^n+2*(11)^n 能被3整除
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 14:50:56
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用数学归纳法证明 5^n+2*(11)^n 能被3整除
用数学归纳法证明 5^n+2*(11)^n 能被3整除
用数学归纳法证明 5^n+2*(11)^n 能被3整除
当n=1时,5^1+2*(11)^1=27,可以被3整除
假设n=k (k>=1)时原式成立,即5^k+2*(11)^k=3x (x属于N)
则当n=k+1时
5^(k+1)+2*(11)^(k+1)
=5*5^k+22*11^k
=5[5^k+22/5*(11)^k)]
=5[5^k+2*(11)^k+12/5*(11)^k]
=5[5^k+2*(11)^k]+12*(11)^k
=5[5^k+2*(11)^k]+3*[4*(11)^k]
=5*3x+3*[4*(11)^k)]
=3*[5x+4*(11)^k)]
因为x,k属于N,所以5x+4*(11)^k属于N
所以原式属于N,得证
n=1成立，设n=k成立，则5^(n+1)+2*11^(n+1) = (6-1)*5^n+(12-1)*2*11^n = (6*5^n+12*2*11^n)-(5^n+2*11^n)可以被3整除
不懂可以追问
设f(n)=5^n+2*(11)^n，
n=1时，f(1)=27被3整除；设f(n)=5^n+2*(11)^n被3整除，则f(n+1)=5^（n+1）+2*(11)^（n+1）=5（5^n+2*(11)^n）+2*(11)^n*6，被3整除。证毕（就是将11分解成5+6）
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