如图,⊙O是△ABC的外接圆,且AB=AC,点D在弧BC上运动,过点D作DE∥BC,DE交AB的延长线于点E.（1）求证：∠ADB=∠E.（2）当点D运动到什么位置时,DE是⊙O的切线?请说明理由.（3）当AB=5,BC=6时,求⊙O的半径
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/07 18:19:09
如图,⊙O是△ABC的外接圆,且AB=AC,点D在弧BC上运动,过点D作DE∥BC,DE交AB的延长线于点E.（1）求证：∠ADB=∠E.（2）当点D运动到什么位置时,DE是⊙O的切线?请说明理由.（3）当AB=5,BC=6时,求⊙O的半径
如图,⊙O是△ABC的外接圆,且AB=AC,点D在弧BC上运动,过点D作DE∥BC,DE交AB的延长线于点E.
（1）求证：∠ADB=∠E.
（2）当点D运动到什么位置时,DE是⊙O的切线?请说明理由.
（3）当AB=5,BC=6时,求⊙O的半径.
如图,⊙O是△ABC的外接圆,且AB=AC,点D在弧BC上运动,过点D作DE∥BC,DE交AB的延长线于点E.（1）求证：∠ADB=∠E.（2）当点D运动到什么位置时,DE是⊙O的切线?请说明理由.（3）当AB=5,BC=6时,求⊙O的半径
：（1）在△ABC中,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C．
∵DE∥BC,
∴∠ABC=∠E,
∴∠E=∠C,
又∵∠ADB=∠C,
∴∠ADB=∠E；
（2）当点D是弧BC的中点时,DE是⊙O的切线．
理由是：∵当点D是弧BC的中点时,AB=AC,
∴AD⊥BC,
∴AD过圆心O,
又∵DE∥BC,
∴AD⊥ED．
∴DE是⊙O的切线；
（3）连接BO、AO,并延长AO交BC于点F,
则AF⊥BC,且BF= 1/2BC=3,
又∵AB=5,
∴AF=4；
设⊙O的半径为r,在Rt△OBF中,OF=4-r,OB=r,BF=3,
∴r²=3²+（4-r）²解得r= 25/8,
∴⊙O的半径是 25/8．
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（1）因为AB=AC 所以 A⌒B=A⌒C 因为∠ABC和∠ADB都是圆周角，且∠ABC所对的弧是A⌒C，∠ADB所对的弧是A⌒B， 所以，∠ABC=∠ADB 因为DE∥BC 所以∠E=∠ABC 所以∠E=∠ADB （2）记DE与圆的交点为F 因为DE∥BC 所以B⌒F=C⌒D 若要DE成为圆的切线，则D、F两点必须重合为一点 又B⌒F=C⌒D 所以，D、F两点重合为一点时，当D为B⌒C中点 所以，当D为B⌒C中点时，DE是圆的切线 （3）过A作AK⊥BC交圆于H 因为AB=AC 所以AH为圆的直径，BK=CK 所以，∠ABH=∠AKB=90° 又∠BAH=∠KAB 所以，ΔABH∽ΔAKB 所以，AB/AK=AH/AB 所以，AH=AB^2/AK 因为，AB=5，BC=6 所以，BK=1/2*BC=3，AK=sqrt(AB^2-BK^2)=4 所以，AH=AB^2/AK=6.25 所以，半径r=0.5*AH=3.125
（1）在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∵DE∥BC，
∴∠ABC=∠E，
∴∠E=∠C，
又∵∠ADB=∠C，
∴∠ADB=∠E；
（2）当点D是弧BC的中点时，DE是⊙O的切线．
理由是：∵当点D是弧BC的中点时，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴AD过圆心O，
又∵DE∥BC，
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（1）在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∵DE∥BC，
∴∠ABC=∠E，
∴∠E=∠C，
又∵∠ADB=∠C，
∴∠ADB=∠E；
（2）当点D是弧BC的中点时，DE是⊙O的切线．
理由是：∵当点D是弧BC的中点时，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴AD过圆心O，
又∵DE∥BC，
∴AD⊥ED．
∴DE是⊙O的切线；
（3）连接BO、AO，并延长AO交BC于点F，
则AF⊥BC，且BF= 1/2BC=3，
又∵AB=5，
∴AF=4；
设⊙O的半径为r，在Rt△OBF中，OF=4-r，OB=r，BF=3，
∴r²=3²+（4-r）²解得r= 25/8，
∴⊙O的半径是 25/8．
收起
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