圆O是等边三角形ABC的外接圆,P是弧BC上任一点,求:AP=BP+CP
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/03 12:40:13
圆O是等边三角形ABC的外接圆,P是弧BC上任一点,求:AP=BP+CP
圆O是等边三角形ABC的外接圆,P是弧BC上任一点,求:AP=BP+CP
圆O是等边三角形ABC的外接圆,P是弧BC上任一点,求:AP=BP+CP
先假设P点是AO连线的延长线与弧BC的交点．
连接CP,BP,OC,OB．
因为OC与OA为圆O的半径,所以OC＝OA,所以角OCA＝角COA；
又三角形ABC为等边三角形,所以角OCA＝角COA＝30度．
所以角COP＝60度；
又OC,OP为为圆O的半径,所以OC＝OP,即三角形COP为等边三角形．
所以CP＝OP．
同理,PB＝OP．
三角形CAP全等于三角形ABP．
所以AP＝BP+CP
由于答案提交以后，空格不能显示，所以用逗号表示空格
设∠BAP为∠1，∠PAC为∠2
∵△ABC是等边三角形
∴ ∠1+∠2=60°
在△ABP中，根据正弦定理：
BP，，，，， ，AP
---------- =-----------------
sin∠1 ，，，sin（60°+∠CBP）
∴ BP sin...
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由于答案提交以后，空格不能显示，所以用逗号表示空格
设∠BAP为∠1，∠PAC为∠2
∵△ABC是等边三角形
∴ ∠1+∠2=60°
在△ABP中，根据正弦定理：
BP，，，，， ，AP
---------- =-----------------
sin∠1 ，，，sin（60°+∠CBP）
∴ BP sin（60°+∠CBP）
AP=-----------------------
，，，，sin∠1
又∵∠CBP和∠2所夹的弧都是CP，所以弦切角∠CBP=∠2
∴ ∠1=60°-∠2=60°- ∠CBP
∴ ，BP sin（60°+∠CBP）
AP=-----------------------
，，，sin（60°- ∠CBP）
在△BPC中，根据正弦定理：
BP ，，，，PC
-------- = ----------
sin∠BCP ，sin∠PBC
又因所对的弧相同
所以 弦切角相等
∴ BP，，， PC
-------- = ----------
sin∠1 ，，sin∠2
∴ ，BP sin∠2
PC=------------
，，sin∠1
，BP sin∠2
=---------------
，sin（60°-∠2）
∴ ，，，，，，BPsin∠2
BP + CP =BP + ---------------
，，，，，，，sin（60°-∠2）
，BP[sin（60°-∠2）+ sin∠2]
=-----------------------------
，，，sin（60°-∠2）
，，，，，，60°，，， 60°-2∠2
，BP[2 sin（----）cos（----------）]
，，，，，，2 ，，，，，，2
=-----------------------------------
，，，，，sin（60°-∠2）
，BPcos（30°-∠2）
=-------------------
，sin（60°-∠2）
，BPsin[90°-（30°-∠2）]
=------------------------
，sin（60°-∠2）
，BP sin（60°+∠2）
=-----------------------
，sin（60°- ∠2）
，BP sin（60°+∠CBP）
=----------------------- =AP
，sin（60°- ∠CBP）
∴ AP=BP+CP
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