上世纪前苏联经典数学奥林匹克题___急!一个三角形,两条角平分线相等,该三角形是否是等腰三角形?

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 01:47:47
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上世纪前苏联经典数学奥林匹克题___急!
一个三角形,两条角平分线相等,该三角形是否是等腰三角形?

上世纪前苏联经典数学奥林匹克题___急!一个三角形,两条角平分线相等,该三角形是否是等腰三角形?
是等腰三角形
你能问出这个问题,说明你不是菜鸟,因此下面的证明尽量点名要点
记三角形为ABC,∠B的平分线BD交AC于D,∠C的平分线CE交AB于E,已知BD=CE,求证AB=AC
1) 根据角平分线定理：
BC/AB=CD/AD => CD=ab/(a+c)
BC/AC=BE/AE => BE=ac/(a+b)
2) 根据正弦定理：
BD/CD=sinC/sin(B/2) => BD=CD * sinC/sin(B/2)
CE/BE=sinB/sin(C/2) => CE=BE * sinB/sin(C/2)
3) 根据1)、2)可知：
BD=ab/(a+c) * sinC/sin(B/2)
CE=ac/(a+b) * sinB/sin(C/2)
4) 结合条件BD=CE和正弦定理：
ab/(a+c) * sinC/sin(B/2)=ac/(a+b) * sinB/sin(C/2) => sin(B/2)/sin(C/2)=(sinA+sinB)/(sinA+sinC)
5) 不失一般性,假设∠B >= ∠C,很容易证明下面两个不等式：
sin(B/2)/sin(C/2) >= sinB/sinC 当且仅当B=C时成立
sinB/sinC >= (sinA+sinB)/(sinA+sinC) 当且仅当B=C时成立
6) 根据4)、5)可知B=C,即AB=AC

个人认为是等腰三角形。

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