如何利用初中知识,证明欧拉圆.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 23:28:06
如何利用初中知识,证明欧拉圆.
如何利用初中知识,证明欧拉圆.
如何利用初中知识,证明欧拉圆.
证明
如右图所示,△ABC的BC边垂足为D,BC边中点为L.证法为以垂心H为位似中心,1/2为位似比作位似变换. 连结HL并延长至L',使LL'=HL；做H关于BC的对称点D'. 显然,∠BHC=∠FHE=180°-∠A,所以∠BD'C=∠BHC=180°-∠A,从而A,B,D',C四点共圆. 又因为BC和HL'互相平分于L,所以四边形BL'CH为平行四边形.故∠BL'C=∠BHC=180°-∠A,从而A,B,L',C四点共圆. 欧拉圆
[1]综上,A,B,C,D',L'五点共圆.显然,对于另外两边AB,AC边上的F,N,E,M也有同样的结论成立,故A,B,C,D',L',F',N',E',M'九点共圆.此圆即△ABC的外接圆⊙O. 接下来做位似变换,做法是所有的点（⊙O上的九个点和点O本身）都以H为位似中心进行位似比为1/2的位似变换.那么,L'变到了L（因为HL'=2HL）,D'变到了D（因为D'是H关于BC的对称点）,B变到了Q,C变到了R（即垂心与顶点连线的中点）.其它各点也类似变换.O点变成了OH中点V. 位似变换将圆仍映射为圆（容易用向量证明）,因此原来在⊙O上的九个点变成了在⊙V上的九个点,且⊙V的半径是⊙O的一半. 这就证明了三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点都在一个圆上.
第二种简单的证法
作图如下：△ABC的BC边垂足为D,BC边中点为L, AC边垂足为E,AC边中点为M, AB边垂足为F,AB边中点为N, 垂心为H,AH,BH,CH中点分别为P,Q,R （思路：以PL为直径,其它任意某点,去证P某L为90°） 证明：（由中位线）PM平行CH,LM平行AB,又CH垂直AB∴PM垂直LM,又PD垂直LD,∴PMDL共圆. （由中位线）PR平行AC,LR平行BH,BH垂直AC,所以PR垂直LR∴PMRDL五点共圆. （由圆的的直径所对应的圆周角为直角）连接PL,则PL即为直径.所以∠PML=∠PEL=90°,所以∴PEMRDL六点点共圆,同理可证PFNQL五点共圆,PL为直径, 所以PEMRDLQNF九点共圆,PL为直径,PL中点(设为V)就是圆心 下证 九点圆的圆心在垂心与外心连线的中点 O为外心,OL平行等于AH一半（这个小定理我就不证明了）所以OL平行等于PH OLPH为平行四边形,V是PL中点,就是OH中点