写出小于20的三个自然数,使他它们的最大公约数是1,但其中任意两个数都不互质.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 05:54:44
写出小于20的三个自然数,使他它们的最大公约数是1,但其中任意两个数都不互质.
写出小于20的三个自然数,使他它们的最大公约数是1,但其中任意两个数都不互质.
写出小于20的三个自然数,使他它们的最大公约数是1,但其中任意两个数都不互质.
3 8
4 9
5 12
6 11（13）（19）==
【题目】写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1，但其中任意两个数都不互质。
【解析】
为方便起见，我们用a、b、c表示所写的三个自然数，那么a、b、c应满足以下条件：
a、b、c都是小于20的自然数，（a，b，c）=1，
同时（a，b）＞1，（a，c）＞1，（b，c）＞1。
从条件（a，b，c）=1出发，很容易得出a、b、c三个数不能同时取偶数。<...
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【题目】写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1，但其中任意两个数都不互质。
【解析】
为方便起见，我们用a、b、c表示所写的三个自然数，那么a、b、c应满足以下条件：
a、b、c都是小于20的自然数，（a，b，c）=1，
同时（a，b）＞1，（a，c）＞1，（b，c）＞1。
从条件（a，b，c）=1出发，很容易得出a、b、c三个数不能同时取偶数。
从条件（a，b）＞1，（a，c）＞1，（b，c）＞1出发，也很容易发现a、b、c三个数也不能同时在1，2，3，5，7，11，13，17，19中分别取值。
另外a、b、c三个数中的任一个不能取20以内的质数。如果假设a是质数，为保证（a，b）＞1，（a，c）＞1，那么b、c都应是a的倍数，即b=aq，c=aq2，这一来（a，b，c）=a＞1，与（a，b，c）=1矛盾。
另外a、b、c三个数中的任意两个数，其中一个不能是另一个的倍数。如果a是b的倍数，那么有（a，b）=b。为保证（b，c）=d＞1，便有（a，b，c）=d＞1，与（a，b，c）=1矛盾。
通过上面分析我们可以看出，a、b、c三个数只有两种可能：一是两偶一奇，一是两奇一偶，且这里的奇数不能是1和质数。
先来讨论两奇一偶的情况。20以内的奇数除了1和质数外，只有9和15两个数，20以内的偶数除了2之外，还有4，6，8，10，12，14，16，18八个数。因为18是9的倍数，而（9，15）=3，所以偶数不能取18。又因为（9，4）=1，（9，10）=1，（9，14）=1，（9，16）=1，所以偶数不能取4、10、14、16，只剩下6和12这两个偶数，但是（6，9，15）=3，（12，9，15）=3，与（a，b，c）=1矛盾，故两奇一偶的情况不会出现。
再来研究两偶一奇的情况。一个奇数如果是9，根据上面的分析，另外的两个偶数不能是4、10、14和16，而18又是9的倍数，也不行，只剩下6和12，而（6，9，12）=3，与（a，b，c）=1矛盾，故奇数是9时无答案。
当一个奇数是15时，因为（4，15）=1，（14，15）=1，（15，16）=1，所以偶数不能取4、14、16。只剩下6、10、12、18这四个偶数。又因为12、18是6的倍数，所以两个偶数不能取6、12或6、18。这一来只有6、10；10、12；10、18；12、18这四种情况，而（12，15，18）=3，与（a，b，c）=1矛盾，所以只有三种情况。
因为（6，10）=2，（6，15）=3，（10，15）=5，（6，10，15）=1；
（10，12）=2，（12，15）=3，（10，15）=5，（10，12，15）=1；
（10，15）=5，（10，18）=2，（15，18）=3，（10，15，18）=1。
所以满足要求的a、b、c只有下面三组：
｛6，10，15｝，｛10，12，15｝，｛10，15，18｝
此题还可以这样想，因为a、b、c是小于20的合数，所以它们分解质因数后只能含有质因数2、3、5、7。按照题目的要求将2、3、5、7适当搭配，可得下面结果：
2×3， 2×5， 3×5；
22×3， 2×5， 3×5；
5×3， 2×5， 2×32
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