已知△ABC中,AB=AC,∠ABC>60°,∠ABD=60°,且∠ADB=90°—二分之一的∠BDC.求证AB=BD=DC

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 12:46:50
已知△ABC中,AB=AC,∠ABC>60°,∠ABD=60°,且∠ADB=90°—二分之一的∠BDC.求证AB=BD=DC已知△ABC中,AB=AC,∠ABC>60°,∠ABD=60°,且∠ADB=

已知△ABC中,AB=AC,∠ABC>60°,∠ABD=60°,且∠ADB=90°—二分之一的∠BDC.求证AB=BD=DC
已知△ABC中,AB=AC,∠ABC>60°,∠ABD=60°,且∠ADB=90°—二分之一的∠BDC.求证AB=BD=DC

已知△ABC中,AB=AC,∠ABC>60°,∠ABD=60°,且∠ADB=90°—二分之一的∠BDC.求证AB=BD=DC
延长BD,并在BD的延长线上取一点M,使DM=CD,角ADM=90度+1/2角BDC,角ADC=角ADB+角BDC=90度-1/2角BDC+角BDC=90度+1/2角BDC,
所以角ADM=角ADC.此时在三角形ACD和三角形ADM中,AD=AD,CD=DM,角ADC=角ADM,所以三角形ADC全等于三角形ADM(SAS).
所以AC=AM,又因为AB=AC,所以AM=AB.
又因为角ABD=60度,所以三角形ABM为等边三角形.所以AB=BM,又因为CD=DM,所以AB=BD+DC

延长BD至E使DC=EC,
所以角DCE=角DEC=(1/2)角BDC
角ADE=360度-角ADB-角BDC-角CDE
=360度-(90度-(1/2)角BDC)-角BDC-(180度-角BDC)
=90度-(1/2)角BDC=角ADB
所以△ADC≌△ADE
AC=AE=AB
由于角ABD=60度
△ABE为等边三角形
AB=BE=BD+DE=BD+CD