求证：1/4+1/6+1/8+1/10+.+1/(2n)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 18:54:52
求证：1/4+1/6+1/8+1/10+.+1/(2n)
求证：1/4+1/6+1/8+1/10+.+1/(2n)
求证：1/4+1/6+1/8+1/10+.+1/(2n)
可以不用微积分, 但必须用极限, 因为自然对数底e的定义就要用极限.
(1) 首先证明数列(1+1/n)ⁿ严格递增, 并有上界.
用二项式定理展开得(1+1/n)ⁿ = 1+C(n,1)/n+C(n,2)/n²+C(n,3)/n³+...+C(n,n)/nⁿ
= 1+1+(1-1/n)/2!+(1-1/n)(1-2/n)/3!+...+(1-1/n)(1-2/n)...(1-(n-1)/n)/n!.
而(1+1/(n+1))ⁿ⁺¹ = 1+1+(1-1/(n+1))/2!+(1-1/(n+1))(1-2/(n+1))/3!+...
+(1-1/(n+1))(1-2/(n+1))...(1-(n-1)/(n+1))/n!+1/(n+1)ⁿ⁺¹.
后者比前者多一项1/(n+1)ⁿ⁺¹, 除此之外的每一项都不小于前者的对应项(1-k/n < 1-k/(n+1)).
故(1+1/n)ⁿ < (1+1/(n+1))ⁿ⁺¹, 数列严格递增.
此外(1+1/n)ⁿ = 1+1+(1-1/n)/2!+(1-1/n)(1-2/n)/3!+...+(1-1/n)(1-2/n)...(1-(n-1)/n)/n!
< 1+1+1/2!+1/3!+...+1/n!
≤ 1+1+1/2+1/2²+...+1/2ⁿ⁻¹
< 3.
因此3是数列的一个上界.
单调递增有上界的数列收敛, e就定义为上述数列的极限, 即e = lim{n → ∞} (1+1/n)ⁿ.
由数列(1+1/n)ⁿ严格递增, 有不等式(1+1/n)ⁿ < e.
(2) 再证明数列(1+1/n)ⁿ⁺¹严格递减.
只要对n ≥ 2证明(1+1/(n-1))ⁿ > (1+1/n)ⁿ⁺¹, 可整理为n²ⁿ⁺¹ > (n-1)ⁿ(n+1)ⁿ⁺¹,
进一步变为(1+1/(n²-1))ⁿ > 1+1/n, 这等价于(1+1/(n²-1))^(n²) > (1+1/n)ⁿ.
由n ≥ 2, 可得n²-1 > n, 有前面证明的单调性, (1+1/(n²-1))^(n²-1) > (1+1/n)ⁿ.
于是(1+1/(n²-1))^(n²) > (1+1/(n²-1))^(n²-1) > (1+1/n)ⁿ, 即得结论.
再由lim{n → ∞} (1+1/n) = 1, 可知lim{n → ∞} (1+1/n)ⁿ⁺¹ = lim{n → ∞} (1+1/n)ⁿ = e.
由数列(1+1/n)ⁿ⁺¹严格递减, 有不等式(1+1/n)ⁿ⁺¹ > e.
综合得(1+1/n)ⁿ < e < (1+1/n)ⁿ⁺¹ ①.
(3) 由①的左端, (1+1/k)^k < e, 即得(k+1)/k < e^(1/k).
依次取k = 1, 2, 3,..., n-1, 相乘即得n = 2/1·3/2·4/3·...·n/(n-1) < e^(1+1/2+1/3+...+1/(n-1)).
取对数得ln(n) < 1+1/2+1/3+...+1/(n-1), 即所证不等式右端.
由①的右端, e < (1+1/k)^(k+1), 即得e^(1/(k+1)) < (k+1)/k.
依次取k = 1, 2, 3,..., n-1, 相乘即得e^(1/2+1/3+1/4+...+1/n) < 2/1·3/2·4/3·...·n/(n-1) = n.
取对数得1/2+1/3+1/4+...+1/n < ln(n) (其实左端写成这样比较合理).
进而有1/4+1/6+1/8+...+1/(2n) < 1/2+1/3+1/4+...+1/n < ln(n), 即所证不等式左端.
注: 如果允许求导可以直接考虑用导数证明: x > 0时, x/(1+x) < ln(1+x) < x, 之后就容易了.