已知f(x)=-2cos^2x-2√2sinx+2的定义域为R (1)求F（X）的值域 (2) 在区间[-π/2,π/2],fx=3,求sin(2x+π/3)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 15:29:56
已知f(x)=-2cos^2x-2√2sinx+2的定义域为R (1)求F（X）的值域 (2) 在区间[-π/2,π/2],fx=3,求sin(2x+π/3)
已知f(x)=-2cos^2x-2√2sinx+2的定义域为R (1)求F（X）的值域 (2) 在区间[-π/2,π/2],fx=3,求sin(2x+π/3)
已知f(x)=-2cos^2x-2√2sinx+2的定义域为R (1)求F（X）的值域 (2) 在区间[-π/2,π/2],fx=3,求sin(2x+π/3)
第一个问题：
f（x）＝－2（cosx）^2－2sinx＋2＝2（sinx）^2－2sinx＝2（sinx－1/2）^2－1/2.
∴当sinx＝1/2时,f（x）有最小值,且最小值为－1/2.
当sinx＝－1时,f（x）有最大值,且最大值为2（－1－1/2）^2－1/2＝9/2－1/2＝4.
∴函数的值域是［－1/2,4］.
第二个问题：
由f（x）＝3,结合第一个问题的解答过程,有：2（sinx－1/2）^2－1/2＝3,
∴2（sinx－1/2）^2＝7/2,∴（sinx－1/2）^2＝7/4,
∴sinx－1/2＝√7/2,或sinx－1/2＝－√7/2,
∴sinx＝（1＋√7）/2,或sinx＝（1－√7）/2.
很明显,（1＋√7）/2＞（1＋√4）/2＝3/2＞1,∴sinx＝（1＋√7）/2是不合理的,应舍去.
于是,sinx＝（1－√7）/2＜0.
∵x∈［－π/2,π/2］,∴由sinx＜0,得：x∈（－π/2,0）,
∴cosx＝√［1－（sinx）^2］＝√［1－（1－√7）^2/4］＝（1/2）√（2√7－4）.
∴sin（2x＋π/3）
＝sin2xcos（π/3）＋cos2xsin（π/3）
＝sinxcosx＋（√3/2）［1－2（sinx）^2］
＝［（1－√7）/2］［（1/2）√（2√7－4）］＋（√3/2）－√3［（1－√7）/2］^2
＝（1/4）（1－√7）√（2√7－4）＋√3/2－（1/2）√（6√7－12）.