如何求y=3cosx+sinx+sinx*cosx的值域?不要小看这道题

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 10:31:18
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如何求y=3cosx+sinx+sinx*cosx的值域?不要小看这道题
令sinx+cosx=t
则t=√2sin(x+π/4)∈[-√2,√2]
t²=sin²x+cos²x+2sinxcosx=1+2sinxcosx
sinxcosx=(t²-1)/2
则 y=t+(t²-1)/2=(t²+2t-1)/2=[(t+1)²-2]/2
当t=-1时,y有最小值-1
当t=√2时,y有最大值√2 +1/2

楼上没看清题吧

答案应该是(-3,3.53295209641).令cosx=t,代入后得 y=3t+√(1-t^2)+t√(1-t^2)。求导得到y'=3+√(1-t^2)-(t^2+t)/(√(1-t^2))。令y'=0.解得t1=-1,t2=(1+0.75√2)^(1/3)-1/{2*[(1+0.75√2)^(1/3)]}≈0.8796148,t3=(1-0.75√2)^(1/3)-1/{2*[(1-0.75√2)^(1/3)]}≈0.87961645,代入即得到值域。