如何证明正弦定理和余弦定理用于所有三角形都成立
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 22:12:06
如何证明正弦定理和余弦定理用于所有三角形都成立如何证明正弦定理和余弦定理用于所有三角形都成立如何证明正弦定理和余弦定理用于所有三角形都成立1.三角形的正弦定理证明： 在锐角△ABC中,设三边为a,b
如何证明正弦定理和余弦定理用于所有三角形都成立
如何证明正弦定理和余弦定理用于所有三角形都成立
如何证明正弦定理和余弦定理用于所有三角形都成立
1.三角形的正弦定理证明：
在锐角△ABC中,设三边为a,b,c.作CH⊥AB垂足为点H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到
a/sinA=b/sinB
同理,在△ABC中,
b/sinB=c/sinC
步骤2.
证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
如图,任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
作直径BD交⊙O于D.
连接DA.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R
a/SinA=BC/SinD=BD=2R
类似可证其余两个等式.
2.三角形的余弦定理证明：
平面几何证法：
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a
则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c
根据勾股定理可得：
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB
b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac