a≠b 求证:a^4+6a^2b^2+b^4>4ab(a^2+b^2)

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 09:26:16
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a≠b 求证:a^4+6a^2b^2+b^4>4ab(a^2+b^2)
a≠b 求证:a^4+6a^2b^2+b^4>4ab(a^2+b^2)

a≠b 求证:a^4+6a^2b^2+b^4>4ab(a^2+b^2)
因为平方在网页上比较难打出来,我就把题目坐在word上了,然后截图给你看,点击图片就可以了

只要证明 a^4+6a^2b^2+b^4-4ab(a^2+b^2)>0.
熟悉一点的话可以直接看出来,因为 a^4+6a^2b^2+b^4-4ab(a^2+b^2)=(a-b)^4.
不然直接因式分解也可,但是麻烦点。
a^4+6a^2b^2+b^4-4ab(a^2+b^2)
=(a^4-a^3b)-3(a^3b-a^2b^2)+3(a^2b^2-ab^3)-(a...

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只要证明 a^4+6a^2b^2+b^4-4ab(a^2+b^2)>0.
熟悉一点的话可以直接看出来,因为 a^4+6a^2b^2+b^4-4ab(a^2+b^2)=(a-b)^4.
不然直接因式分解也可,但是麻烦点。
a^4+6a^2b^2+b^4-4ab(a^2+b^2)
=(a^4-a^3b)-3(a^3b-a^2b^2)+3(a^2b^2-ab^3)-(ab^3-b^4)
=a^3(a-b)-3a^2b(a-b)+3ab^2(a-b)-b^3(a-b)
=(a-b)(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3)
=(a-b)[(a^3-a^2b)-2(a^2b-ab^2)+(ab^2-b^3)]
=(a-b)[a^2(a-b)-2ab(a-b)+b^2(a-b)]
=(a-b)^2*(a^2-2ab+b^2)
=(a-b)^4
>0
因此原不等式成立。

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