数学几何证明难题H是锐角三角形ABC的垂心,P是外接圆弧BC上一点,连接PH交弧AC于点M,弧AB上有一点K,使直线KM平行于点P关于三角形ABC的西姆松线,弦QP//BC,弦KQ交边BC于点J.求证三角形KMJ是等腰三角
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 13:17:09
数学几何证明难题H是锐角三角形ABC的垂心,P是外接圆弧BC上一点,连接PH交弧AC于点M,弧AB上有一点K,使直线KM平行于点P关于三角形ABC的西姆松线,弦QP//BC,弦KQ交边BC于点J.求证三角形KMJ是等腰三角
数学几何证明难题
H是锐角三角形ABC的垂心,P是外接圆弧BC上一点,连接PH交弧AC于点M,弧AB上有一点K,使直线KM平行于点P关于三角形ABC的西姆松线,弦QP//BC,弦KQ交边BC于点J.求证三角形KMJ是等腰三角形.
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数学几何证明难题H是锐角三角形ABC的垂心,P是外接圆弧BC上一点,连接PH交弧AC于点M,弧AB上有一点K,使直线KM平行于点P关于三角形ABC的西姆松线,弦QP//BC,弦KQ交边BC于点J.求证三角形KMJ是等腰三角
注：以下是我的个人证法,并不一定是最简单的,仅供参考
证明：如图,DE是西姆松线,连结AH并延长,交圆于点F；作射线MG,使得∠FMG=∠KAM,交直线AH于点G；作MS平行于BC交AH于S.设MP与BC交于点N,MK与AH交于L,AF与BC交于T,AQ与KM,BC分别交于X,Y.连结PB,PD,PE,AQ,KN,AK,AM,CM,CH.
∵PE⊥AB,PD⊥BC
∴PBED共圆
∴∠AED=∠BPD=90°-∠PBC=90°-(1/2)弧PC=90°-(1/2)弧BQ=90°-∠BAQ
即DE⊥AQ
又MK∥DE
∴MK⊥AQ
∵PQKM共圆
∴∠QKM+∠QPM=∠JKM+∠JNM=180°,即NJKM共圆
∴∠JKM=∠MNC,∠KMJ=∠KNJ
因此要证△KMJ是等腰三角形,或证∠JKM=∠KMJ
只需证∠MNC=∠KNJ
注意到H为垂心,因此H与F关于BC对称（这点易证,这里就不详述了）
因此又只需证KNF共线
下面应用梅涅劳斯定理来证明KNF共线,取△MLH
要证KNF共线
只需证(MK/KL)(LF/FH)(HN/NM)=1 (1)
而HN/NM=S(△CNH)/S(△CNM)=CN·(1/2)HF/(CN·ST)=(1/2)HF/ST
MK/KL=S(△AKM)/S(△AKL)=AM·AK·sin∠KAM/(AK·ALsin∠KAL)=AMsin∠KAM/(ALsin∠KAL)
代入(1)式,我们只需证(AM·LF·sin∠KAM)/(AL·ST·sin∠KAL)=2 (2)
而LF/AL=S(△LFM)/S(△LMA)=MFsin∠FMK/(AMsin∠AMK)
且∠FMK=∠KAL
代入(2)式,我们只需证(MFsin∠KAM)/(ST·sin∠AMK)=2
或证MF·KM/(ST·AK)=2 (3)
另一方面,∵∠FMG=∠KAM,∠GFM=∠MKA
∴△GFM∽△MKA
∴KM/KA=FG/FM (4)
∠G=∠AML
又注意到LXYT共圆（AQ⊥AM,AF⊥BC）,AQPM共圆
∴∠AMH+∠AQP=∠AMH+∠AYN=180°,∠XLT+∠XYT=∠ALM+∠AYN=180°
∴∠AMH=∠ALM
∴∠AML=∠AHM=∠G,即△MGH是等腰三角形
于是GF=GH+HF=2(SH+HT)=2ST (5)
将(4)(5)代入(3),即证明了(3)
这样就证明了KNF共线
于是说明了△KMJ是等腰三角形
楼上说的好，难啊。
先告诉我西姆松线是什么东西
难锕