如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC为直径作圆O,交AB于D点,过点O作OE∥AB,交BC于E.(1)求证：ED为圆O的切线;（2）若圆O的半径为3,ED=4,设EO的延长线交圆O于F,连接DF.AF,求△ADF的面积.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 17:51:10
如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC为直径作圆O,交AB于D点,过点O作OE∥AB,交BC于E.(1)求证：ED为圆O的切线;（2）若圆O的半径为3,ED=4,设EO的延长线交圆O于F,连接DF.AF,求△ADF的面积.
如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC为直径作圆O,交AB于D点,过点O作OE∥AB,交BC于E.
(1)求证：ED为圆O的切线;
（2）若圆O的半径为3,ED=4,设EO的延长线交圆O于F,连接DF.AF,求△ADF的面积.
如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC为直径作圆O,交AB于D点,过点O作OE∥AB,交BC于E.(1)求证：ED为圆O的切线;（2）若圆O的半径为3,ED=4,设EO的延长线交圆O于F,连接DF.AF,求△ADF的面积.
分析：（1）连接OD,利用同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半,得到∠HOD=2∠A,然后用等量代换得到∠ODE=90°,证明DE是⊙O的切线．
（2）利用（1）的结论有∠ODE=90°,又已知∠OBE=90°,证明△BOE≌△DOE,得到∠BOE=∠A,所以OE∥AD,得到点E是BC的中点,可以证明OE是△ABC的中位线．
（1）连接OD,
则∠HOD=2∠A,
已知∠HDE=2∠A,
则∠HOD=∠HDE,
∵HD⊥AB,
∴∠HOD+∠HDO=90°,
∴∠HDE+∠HDO=90°,
即OD⊥DE,
又OD是半径,
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵DE是⊙O的切线,∠ABC=90°,
∴∠OBE=∠ODE=90°,
又OB=OD,OE=OE,
∴Rt△BOE≌Rt△DOE,
∴∠BOE=∠DOE,
∴∠HOD=∠BOE+∠DOE=2∠BOE,
又∠HOD=2∠A,
∴∠BOE=∠A,
∴OE∥AD,
而O是AB的中点,
故OE是△ABC的中位线．点评：本题考查的是切线的判定,（1）利用同弧所对的圆周角和圆心角的关系,以及等量代换求出∠ODE的度数,证明DE是⊙O的切线．（2）利用（1）的结论证明两三角形全等,得到相等的角度,再用同位角相等两直线平行和三角形中位线的性质证明OE是△ABC的中位线．我做过,