an=4n^2-1 问数列中 是否存在三项使得ak am ap为等比数列其中k、m、p是正整数且k
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 07:33:17
an=4n^2-1 问数列中 是否存在三项使得ak am ap为等比数列其中k、m、p是正整数且k
an=4n^2-1 问数列中 是否存在三项使得ak am ap为等比数列
其中k、m、p是正整数且k
an=4n^2-1 问数列中 是否存在三项使得ak am ap为等比数列其中k、m、p是正整数且k
这道题无解
反证法
假设有解
4n^2-1=(2n)^2-1=一个偶数的平方－1
所以转化为
三个不同偶数a,b,c
a^2-1,b^2-1,c^2-1是等比数列?
如果成立,那么等价于
(a^2-1)(c^2-1)=(b^2-1)(b^2-1)
(b^2-1)^2
=(a-1)(a+1)(c-1)(c+1)
=[(a-1)(c-1)][(a+1)(c+1)]
=[ac+1-(a+c)][ac+1+(a+c)]
=[ac+1]^2-(a+c)^2
也就是
(b^2-1)^2+(a+c)^2=(ac+1)^2
因为a,b,c是偶数,所以当然a+c,ac+1,b^2-1都是整数
所以b^2-1,a+c,ac+1是勾股数,
任何勾股数可以由下面的表达式表达
(2rs)^2+(r^2-s^2)^2=(r^2+s^2)^2
由于a,b,c都是偶数,所以a+c只能是2rs.
a+c=2rs
b^2-1=r^2-s^2
ac+1=r^2+s^2
ac+1=r^2+s^2
4|ac
所以r,s一奇一偶
b^2-1=r^2-s^2
4|b^2
所以r偶,s奇
a+c=2rs
ac=r^2+s^2-1
(a-c)^2=[(2rs)^2-4(r^2+s^2-1)]=4(r^2-1)(s^2-1)=4(r-1)(s-1)(r+1)(s+1)
不妨设a=2A,b=2B,c=2C
(A-C)^2=(r-1)(s-1)(r+1)(s+1)=(rs+1)^2-(r+s)^2
(r+s)^2+(A-C)^2=(rs+1)^2
所以还有勾股数表达上面的算式中的量.
r偶,s奇
r+s奇
所以A-C偶
r+s=x^2-y^2
A-C=2xy
rs+1=x^2+y^2
(r-s)^2
=(x^2-y^2)^2-4(x^2+y^2-1)
=(x^2+y^2)^2-4(x^2+y^2)+4-(2xy)^2
=(x^2+y^2-2)^2-(2xy)^2
(r-s)^2+(2xy)^2=(x^2+y^2-2)^2
r-s也是奇数
所以
2xy=2uv
r-s=u^2-v^2
x^2+y^2-2=u^2+v^2
xy=uv
r-s=u^2-v^2
x^2+y^2-2=u^2+v^2
2xy+x^2+y^2-2=u^2+v^2+2uv
(x+y)^2-2=(u+v)^2
所以两个非负整数(x+y)与(u+v),其平方差2,这是不可能的,所以原方程无解.
因式分解an=（2n+1）（2n-1）
an+1=(2n+3)(2n+1)
an-1=(2n-1)(2n-3)
an^2=an+1*an-1
(2n+1)^2(2n-1)^2=(2n+3)(2n+1)(2n-1)(2n-3)
(2n+1)(2n-1)=(2n+3)(2n-3)
4n^2-1=4n^2-9
1=9
所以不存在
假设存在所在三项 因为ap最大
设公比为x 由题意可知x＞1
则满足①：4p²-1=4xm²-x
②：4m²-1=4xk²-x
③：4p²-1=4x²k²-x²
因为x＞1 由①可知p²＞xm²
...
全部展开
假设存在所在三项 因为ap最大
设公比为x 由题意可知x＞1
则满足①：4p²-1=4xm²-x
②：4m²-1=4xk²-x
③：4p²-1=4x²k²-x²
因为x＞1 由①可知p²＞xm²
由②可知m²＞xk² 则xm²＞x²k²
结合①②可知 p²＞x²k²
而从③易得出 p²＜x²k²
与题目矛盾
所以可知不存在三项使得ak am ap为等比数列
收起
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