海伦公式的推导过程?三角形面积公式
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 10:23:44
海伦公式的推导过程?三角形面积公式
海伦公式的推导过程?
三角形面积公式
海伦公式的推导过程?三角形面积公式
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
先证三角形的另一个面积公式
S=(ab*SinC)/2(作高再用S=ab/2即可证明)..........(1)
再证余弦定理
c^2=a^2+b^2-2ab*CosC............................(2)
根据公式
(SinC)^2+(CosC)^2=1...........................(3)
由(2),...
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先证三角形的另一个面积公式
S=(ab*SinC)/2(作高再用S=ab/2即可证明)..........(1)
再证余弦定理
c^2=a^2+b^2-2ab*CosC............................(2)
根据公式
(SinC)^2+(CosC)^2=1...........................(3)
由(2),(3)把SinC用a,b,c表示出来再代入(1)即可得出秦九韶--海伦公式
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http://baike.baidu.com/view/1279.htm